Умножая это на 4π и приравнивая результат линейному интегралу, мы получим уравнение
4π𝑢
=
𝑑γ
𝑑𝑦
-
𝑑β
𝑑𝑧
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(Уравнения
Электрических
Токов)
Аналогично
4π𝑣
=
𝑑α
𝑑𝑧
-
𝑑γ
𝑑𝑥
,
4π𝑤
=
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
.
(E)
Эти уравнения определяют величину и направление электрических токов, когда магнитная сила задана в каждой точке.
При отсутствии тока эти уравнения эквивалентны условию
α𝑑𝑥
-
β𝑑𝑦
-
γ𝑑𝑧
=
-𝐷
Ω
,
т.е. во всех точках, где нет токов, магнитную силу можно получить из магнитного потенциала.
Дифференцируя уравнения (Е) по 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно и складывая результаты, мы получаем уравнение
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0,
которое указывает, что ток, имеющий составляющие 𝑢, 𝑣, 𝑤, подчиняется условию движения несжимаемой жидкости и с необходимостью должен протекать по замкнутым контурам.
Это уравнение справедливо только тогда, когда 𝑢, 𝑣 и 𝑤 считаются составляющими электрического потока, обусловленного как изменением электрического смещения, так и истинной проводимостью.
У нас очень мало экспериментальных свидетельств, относящихся к прямому электромагнитному действию токов, обусловленному изменением электрического смещения в диэлектриках, но чрезвычайная трудность совмещения законов электромагнетизма с существованием незамкнутых электрических токов является одной из тех многих причин, по которым мы должны признать существование переходных токов, обусловленных изменением смещения. Их важность будет видна, когда мы подойдём к электромагнитной теории света.
608. Мы сейчас определили соотношения между основными величинами, относящимися к открытым Эрстедом, Ампером и Фарадеем явлениям. Для того чтобы связать их с явлениями, описанными в предыдущих частях трактата, необходимы некоторые дополнительные соотношения.
Когда электродвижущая напряжённость действует на материальное тело, она производит в нём два электрических эффекта, названных Фарадеем индукцией и проводимостью; первый из этих эффектов наиболее заметён в диэлектриках, второй - в проводниках.
В настоящем трактате статическая электрическая индукция измеряется тем, что мы назвали электрическим смещением, т.е. направленной величиной или вектором, который мы обозначили через 𝔇, а его компоненты - через 𝑓, 𝑔, ℎ.
В изотропных веществах смещение совпадает по направлению с электродвижущей напряжённостью, его создающей, и пропорционально ей, по крайней мере, при малых её значениях. Это можно выразить уравнением
𝔇
=
1
4π
𝐾𝔈
,
(Уравнение
Электрического
Смещения)
(F)
где 𝐾 - диэлектрическая способность вещества, см. п. 68.
В веществах, которые не являются изотропными, составляющие 𝑓, 𝑔, ℎ электрического смещения 𝔇 оказываются линейными функциями составляющих 𝑃, 𝑄, 𝑅 электродвижущей напряжённости 𝔈.
По своей форме уравнения электрического смещения аналогичны уравнениям для токов проводимости в том виде, как они приведены в п. 298.
Эти соотношения можно выразить иначе, сказав, что в изотропных средах величина 𝐾 является скаляром, а в других телах она является линейной векторной функцией, действующей на вектор 𝔈.
609. Другим эффектом электродвижущей напряжённости является эффект проводимости. Законы проводимости, возникающей в результате действия электродвижущей напряжённости, были установлены Омом; они объяснены во второй части этого трактата, п. 241, и могут быть сведены в уравнение
𝔎
=
𝐶𝔈
,
(Уравнение Проводимости)
(G)
где 𝔈 есть электродвижущая напряжённость в точке, 𝔎 - плотность тока проводимости, имеющая составляющие 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝐶 - проводимость вещества, которая в случае изотропных веществ оказывается простой скалярной величиной, а для других веществ становится линейной векторной функцией, действующей на вектор 𝔈. Вид этой функции в декартовых координатах приведён в п. 298.
610. Одной из главных особенностей данного трактата является утверждение о том, что истинный электрический ток ℭ. (т.е. ток, от которого зависят электромагнитные явления) не совпадает с током проводимости 𝔎, и в оценке полного движения электричества должно быть учтено изменение во времени электрического смещения 𝔇; следовательно, мы должны написать
ℭ
=
𝔎+𝔇̇
,
(Уравнение Истинного Тока)
(H)
или через составляющие
𝑢
=
𝑝
+
𝑑𝑓
𝑑𝑡
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝑣
=
𝑞
+
𝑑𝑔
𝑑𝑡
,
𝑤
=
𝑟
+
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
(H*)
611. Поскольку и 𝔎, и 𝔇 зависят от электродвижущей напряжённости мы можем выразить истинный ток ℭ через электрическую напряжённость, а именно
ℭ
=
⎛
⎜
⎝
𝐶
+
1
4π
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝔈
,
(I)
или для случая постоянных 𝐶 и 𝐾
𝑢
=
𝐶𝑃
+
1
4π
𝐾
𝑑𝑃
𝑑𝑡
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝑣
=
𝐶𝑄
+
1
4π
𝐾
𝑑𝑄
𝑑𝑡
,
𝑤
=
𝐶𝑅
+
1
4π
𝐾
𝑑𝑅
𝑑𝑡
,
(I*)
612. Объёмная плотность свободного электричества в любой точке находится через составляющие электрического смещения из уравнения
ρ
=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑ℎ
𝑑𝑧
.
(J)
613. Поверхностная плотность электричества равна
σ
=
𝑙𝑓
+
𝑚𝑔
+
𝑛ℎ
+
𝑙'𝑓'
+
𝑚'𝑔'
+
𝑛'ℎ'
,
(K)
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где составляющие смещения равны 𝑓, 𝑔, ℎ, а 𝑙', 𝑚', 𝑛' - направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где эти составляющие равны 𝑓', 𝑔', ℎ'.
614. Когда вся намагниченность среды индуцирована действующей на неё магнитной силой, мы можем написать уравнение индуцированной намагниченности в виде
