Затем, воспользовавшись теоремой IV п. 24, мы преобразовали линейный интеграл от 𝔄 в поверхностный интеграл от другого вектора 𝔅, имеющего составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐, и обнаружили, что как явления индукции, обусловленные движением проводника, так и явления, обусловленные электромагнитной силой, могут быть выражены через 𝔅. Мы дали вектору 𝔅 название вектора магнитной индукции, поскольку его свойства идентичны свойствам линий магнитной индукции, изученным Фарадеем.

Мы установили также три системы уравнений: первая система (А) - это уравнения магнитной индукции, выражающие её через электромагнитный импульс. Вторая система (В) - это уравнения электродвижущей напряжённости, выражающие её через движение проводника поперёк линий магнитной индукции и через скорость изменения электромагнитного импульса. Третья система (С) представляла собой уравнения для электромагнитной силы, выражающие её через токи и магнитную индукцию.

Во всех этих случаях ток следует понимать как ток истинный, т.е. включающий в себя не только ток проводимости, но также и ток, обусловленный изменением электрического смещения.

Магнитная индукция 𝔅 является той величиной, которую мы уже рассматривали в п. 400. В ненамагниченном теле она совпадает с силой, действующей на единичный магнитный полюс, но если тело намагничено (постоянно или путём индукции), то она будет равна той силе, которая действовала бы на единичный полюс, помещённый в узкую полость внутри тела, стенки которой перпендикулярны направлению намагниченности. Составляющие 𝔅 равны 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Из уравнений (А), определяющих 𝑎, 𝑏, 𝑐, следует, что

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑𝑏

𝑑𝑦

+

𝑑𝑐

𝑑𝑧

=

0.

В п. 403 было показано, что таким свойством обладает магнитная индукция.

605. Мы определили магнитную силу внутри магнита, в отличие от магнитной индукции, как силу, действующую на единичный полюс, помещённый внутри узкой полости, вырезанной параллельно направлению намагниченности. Эта величина обозначена через ℌ а её составляющие - через α, β, γ, см. п. 398.

Если 𝔍 есть интенсивность намагниченности, а 𝐴, 𝐵, 𝐶 -её составляющие, то, согласно п. 400,

𝐴

=

α

+

4π𝐴

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(Уравнения

Намагниченности)

𝐵

=

β

+

4π𝐵

,

𝐶

=

γ

+

4π𝐶

.

(D)

Мы можем назвать эти уравнения уравнениями намагниченности: они указывают, что в электромагнитной системе магнитная индукция 𝔅, рассматриваемая как вектор, является суммой (в гамильтоновом смысле) двух векторов - магнитной силы ℌ и умноженной на 4π намагниченности 𝔍, т.е.

𝔅

=

ℌ

+

4π𝔍

.

В некоторых веществах намагниченность зависит от магнитной силы, и это выражается системой уравнений для индуцированного магнетизма, приведённой в п. 426 и 435.

606. Вплоть до этого места мы в наших исследованиях выводили всё из чисто динамических соображений без какой-либо ссылки на количественные эксперименты по электричеству или магнетизму. Экспериментальные знания мы использовали только для того, чтобы распознать в абстрактных понятиях, выведенных из теории, конкретные величины, найденные из эксперимента, и дать им наименования, которые скорей бы указывали на их отношение к физике, нежели на их математическое происхождение.

Так, мы показали существование электромагнитного импульса 𝔄 как некоторого вектора, направление и величина которого изменяются от одной части пространства к другой; из него чисто математическим путём мы вывели магнитную индукцию 𝔅, как некоторый производный вектор. Мы не получили, однако, каких-либо данных для отыскания 𝔄 или 𝔅 по распределению токов в поле. Для этой цели мы должны установить математическую связь между этими величинами и токами.

Начнём с допущения о существовании постоянных магнитов, взаимодействие которых удовлетворяет принципу сохранения энергии. Однако мы не будем делать никаких предположений относительно законов магнитной силы, кроме того предположения, которое следует из этого же принципа, а именно: необходимо, чтобы силу, действующую на магнитный полюс, можно было получить из потенциала.

Затем мы, наблюдая действие между токами и магнитами, находим, что ток действует на магнит, по-видимому, так же, как действовал бы на него другой магнит, мощность, форма и положение которого были бы соответствующим образом подобраны, и что магнит действует на ток так же, как другой ток. Нет необходимости предполагать, что эти наблюдения сопровождаются действительными измерениями сил. Поэтому их не следует рассматривать, как источник численных данных, они полезны только в постановке вопросов для нашего исследования.

Вопрос, который выдвигают эти наблюдения, состоит в следующем: поскольку магнитное поле, создаваемое электрическими токами, во многих отношениях аналогично магнитному полю, создаваемому постоянными магнитами, является ли оно аналогичным также и в отношении его связи с потенциалом?

Тот факт, что электрический контур создаёт в окружающем его пространстве такие же магнитные эффекты, как и ограниченная этим контуром магнитная оболочка, был установлен в п. 482-485.

Мы знаем, что в случае магнитной оболочки существует потенциал, имеющий определённое значение для всех точек вне вещества оболочки, но значения потенциала в двух соседних точках по разные стороны от оболочки отличаются на конечную величину.

Если магнитное поле в окрестности электрического тока подобно магнитному полю вблизи магнитной оболочки, то магнитный потенциал, определённый как линейный интеграл от магнитной силы, будет одинаковым для любых двух путей интегрирования при условии, что один можно трансформировать в другой путём непрерывного движения без пересечения электрического тока.

Если, однако, один путь интегрирования не может быть преобразован в другой без пересечения тока, то линейный интеграл от магнитной силы вдоль одного пути отличается от интеграла вдоль другого пути на величину, зависящую от силы тока. Магнитный потенциал, обусловленный электрическим током, является, следовательно, функцией с бесконечным рядом значений, имеющих общую разность, причём частное значение потенциала зависит от хода линии интегрирования. Внутри вещества проводника такой величины, как магнитный потенциал, не существует.

607. Считая, что магнитное действие тока обладает такого рода магнитным потенциалом, мы приступим к математическому выражению этого результата.

Во-первых, линейный интеграл от магнитной силы вдоль любой замкнутой кривой равен нулю при условии, что эта замкнутая кривая не окружает электрического тока.

Во-вторых, если ток проходит один и только один раз в положительном направлении сквозь замкнутую кривую, то линейный интеграл имеет определённое значение, которое можно использовать в качестве меры силы тока, ибо если форма замкнутой кривой меняется каким-либо непрерывным образом, не пересекая при этом тока, то линейный интеграл остаётся неизменным.

В электромагнитных единицах линейных интеграл от магнитной силы, взятый вдоль замкнутой кривой, численно равен протекающему сквозь замкнутую кривую току, умноженному на 4π.

Если взять в качестве такой замкнутой кривой прямоугольник со сторонами 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, то линейный интеграл от магнитной силы вокруг него будет равен

⎛

⎜

⎝

𝑑γ

𝑑𝑦

-

𝑑β

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

и если 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими потока электричества, ток, протекающий сквозь прямоугольник, равен 𝑢𝑑𝑦𝑑𝑧.