(1)
Так как ток 𝑖1 не зависит от 𝑥1 мы можем написать
𝑀𝑖
1
=
𝑝
=
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(2)
и для величины 𝑋1 имеем
𝑋
1
=
𝑖
2
𝑑
𝑑𝑥1
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(3)
Предположим теперь, что смещение состоит в движении каждой точки контура на расстояние δ𝑥 в направлении 𝑥, причём δ𝑥 является любой непрерывной функцией от 𝑠, так что различные части контура движутся независимо одна от другой и в то же время контур остаётся непрерывным и замкнутым.
Пусть также 𝑋 будет полной силой в направлении 𝑥, действующей на часть контура от 𝑠=0 до 𝑠=𝑠. Тогда часть, соответствующая элементу 𝑑𝑠, будет равна (𝑑𝑋/𝑑𝑠)𝑑𝑠. Для работы, совершаемой этой силой за время перемещения, будем иметь следующее выражение:
∫
𝑑𝑋
𝑑𝑠
δ𝑥
𝑑𝑠
=
𝑖
2
∫
𝑑
𝑑δ𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑥
𝑑𝑠
,
(4)
где мы должны распространить интегрирование на замкнутую кривую, помня, что δ𝑥 является произвольной функцией 𝑠. Поэтому мы можем произвести дифференцирование по δ𝑥 точно так же, как мы дифференцировали по 𝑡 в п. 598, помня, что
𝑑𝑥
𝑑δ𝑥
=
1,
𝑑𝑥
𝑑δ𝑦
=
0,
𝑑𝑥
𝑑δ𝑧
=
1.
(5)
Таким образом, находим
∫
𝑑𝑋
𝑑𝑠
δ𝑥
𝑑𝑠
=
𝑖
2
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑥
𝑑𝑠
+
𝑖
2
∫
𝑑
𝑑𝑠
(𝐹δ𝑥)
𝑑𝑠
.
(6)
При интегрировании по замкнутой кривой последний член исчезает и так как уравнение должно выполняться для функции δ𝑥 любого вида мы должны иметь
𝑑𝑋
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Это уравнение даёт силу, параллельную 𝑥 и действующую на произвольный единичный элемент контура. Силы, параллельные 𝑦 и 𝑧, соответственно равны
𝑑𝑌
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑠
-
𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
,
(8)
𝑑𝑍
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑠
-
𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Результирующая сила, действующая на элемент, даётся (и по направлению, и по величине) кватернионным выражением 𝑖2𝑉.𝑑ρ𝔅, где 𝑖2 есть численная мера тока, а 𝑑ρ и 𝔅 - векторы, представляющие элемент контура и магнитную индукцию; умножение должно пониматься в гамильтоновом смысле.
603. Если проводник следует рассматривать не как линию, а как некоторое тело, то силу на элемент длины и ток через полное сечение необходимо выражать через символы, обозначающие силу на единицу объёма и токи через единицу площади.
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют теперь составляющие силы, отнесённой к единице объёма, а 𝑢, 𝑣, 𝑤 -составляющие тока, отнесённого к единице площади. Тогда, если 𝑆 представляет сечение проводника, которое мы будем предполагать малым, то объём элемента 𝑑𝑠 будет равен 𝑆𝑑𝑠 и
𝑢
=
𝑖
2
𝑑𝑥
.
𝑆
𝑑𝑠
Следовательно, уравнение (7) примет вид
𝑋𝑆𝑑𝑠
𝑑𝑠
=
𝑆
(
𝑣𝑐
-
𝑤𝑏
),
(10)
или
𝑋
=
𝑣𝑐
-
𝑤𝑏
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(Уравнения
Электромагнитной
Силы)
Аналогично
𝑌
=
𝑤𝑎
-
𝑢𝑐
,
и
𝑍
=
𝑣𝑏
-
𝑢𝑎
.
(C)
Здесь 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие электромагнитной силы, действующей на элемент проводника, делённые на объём этого элемента; 𝑢, 𝑣, 𝑤 - отнесённые к единице площади составляющие электрического тока, протекающего через элемент, и 𝑎, 𝑏, 𝑐 - составляющие магнитной индукции на элементе, которые также отнесены к единице площади.
Если вектор 𝔉 представляет по величине и направлению силу на единицу объёма проводника, а ℭ представляет собой электрический ток, текущий через него, то
𝔉
=
𝑉.ℭ𝔅
.
(11)
ГЛАВА IX
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
604. Наше теоретическое обсуждение электродинамики мы начнём с предположения о том, что система контуров, несущих электрические токи, является системой динамической, где токи можно рассматривать как скорости, а координаты, соответствующие этим скоростям, не появляются в уравнениях явно. Из этого следует, что кинетическая энергия системы, поскольку она зависит от токов, является однородной квадратичной функцией токов, коэффициенты которой зависят только от формы и относительного положения контуров. Предполагая, что эти коэффициенты известны из эксперимента или ещё откуда-либо, мы с помощью чисто динамических рассуждений вывели законы индукции токов и электромагнитного притяжения. При этом исследовании мы ввели понятия электрокинетической энергии системы токов, электромагнитного импульса тока и взаимного потенциала двух контуров.
Затем мы продолжили исследование поля с помощью вторичных контуров различной конфигурации, и это привело нас в результате к понятию вектора 𝔄, имеющего в любой данной точке поля определённую величину и определённое направление. Мы назвали этот вектор электромагнитным импульсом в данной точке; его можно рассматривать как интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, создаваемой в этой точке при внезапном удалении всех токов из поля. Он тождествен величине, которую мы уже изучали в п. 405 в качестве вектор-потенциала магнитной индукции. Её составляющими, параллельными осям 𝑥, 𝑦, 𝑧, являются 𝐹, 𝐺 и 𝐻. Электромагнитный импульс контура равен линейному интегралу от 𝔄 по контуру.
