Это составляющие вектора -𝑑𝔄/𝑑𝑡, или -𝔄̇. Следовательно,
𝔈
2
=
-𝔄̇
.
(8)
Последний член в каждом из уравнений (В) обусловлен изменением функции Ψ в различных частях поля. Мы можем записать третью часть электродвижущей напряжённости, обусловленную этой причиной, в виде
𝔈
3
=
-∇Ψ
.
(9)
Электродвижущая напряжённость в том виде, как она определена уравнениями (В), может быть, следовательно, записана в кватернионной форме:
𝔈
=
𝑉.𝔊𝔅
-𝔄̇
-∇Ψ
.
(10)
О модификации уравнений для электродвижущей напряжённости в случае, когда оси, на которые она проектируется, движутся в пространстве
600. Пусть 𝑥', 𝑦', 𝑧' - координаты точки, относящиеся к системе прямоугольных осей, движущихся в пространстве, а 𝑥, 𝑦, 𝑧 - координаты той же точки относительно неподвижных осей.
Пусть составляющие скорости начала движущейся системы координат равны 𝑢, 𝑣, 𝑤, а составляющие её угловой скорости по отношению к неподвижной системе осей равны ω1, ω2, ω3. Выберем неподвижные оси так, чтобы они в данный момент времени совпали с движущимися осями, тогда единственными величинами, которые будут отличны друг от друга для обеих систем, окажутся величины, продифференцированные по времени. Если через δ𝑥/δ𝑡 обозначить составляющую скорости точки, жёстко связанной с движущимися осями и перемещающейся вместе с ними, а через 𝑑𝑥/𝑑𝑡 и 𝑑𝑥'/𝑑𝑡 - составляющие скорости любой движущейся точки, имеющей в какое-то мгновение одинаковое положение относительно неподвижных и движущихся осей соответственно, тогда
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝑥'
𝑑𝑡
,
(1)
для других составляющих уравнения аналогичны.
Согласно теории движения тел неизменной формы
δ𝑥
δ𝑡
=
𝑢
+
ω
2
𝑧
-
ω
3
𝑦
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
δ𝑦
δ𝑡
=
𝑣
+
ω
3
𝑥
-
ω
1
𝑧
,
δ𝑧
δ𝑡
=
𝑤
+
ω
1
𝑦
-
ω
2
𝑥
.
(2)
Величина 𝐹 является составляющей некоторой направленной величины, параллельной 𝑥, поэтому, обозначив через 𝑑𝐹'/𝑑𝑡 значение 𝑑𝐹/𝑑𝑡, отнесённое к движущимся осям, мы можем показать, что
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑧
δ𝑧
δ𝑡
+
𝐺ω
3
-
𝐻ω
2
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(3)
Подставляя вместо 𝑑𝐹/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹/𝑑𝑧 их значения, найденные из уравнений для магнитной индукции (А), и помня, что, согласно (2),
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
=
0,
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
=
ω
3
,
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
=
-ω
2
,
(4)
находим
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝐹
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝐺
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
+
𝐺
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
+
+
𝑑𝐻
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
+
𝐻
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
-
𝑐
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑏
δ𝑧
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(5)
Если теперь положить
Ψ'
=
𝐹
δ𝑥
δ𝑡
+
𝐺
δ𝑦
δ𝑡
+
𝐻
δ𝑧
δ𝑡
,
(6)
то
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=-
𝑑Ψ'
𝑑𝑥
-
𝑐
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑏
δ𝑧
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(7)
Уравнение для 𝑃 - составляющей электродвижущей напряжённости, параллельной оси 𝑥, отнесённое к неподвижным осям, согласно (В), будет
𝑃
=
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
-
𝑑𝐹
𝑑𝑡
-
𝑑Ψ
𝑑𝑥
.
(8)
Заменяя эти значения на значения величин, отнесённых к движущимся осям, для величины 𝑃, отнесённой к этим движущимся осям, имеем
𝑃'
=
𝑐
𝑑𝑦'
𝑑𝑡
-
𝑏
𝑑𝑧'
𝑑𝑡
-
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
-
𝑑(Ψ+Ψ')
𝑑𝑥
.
(9)
601. Отсюда следует, что электродвижущая напряжённость выражается однотипной формулой для движений проводников, отнесённых и к неподвижным осям, и к движущимся в пространстве осям. Единственное различие между формулами состоит в том, что в случае движущихся осей электрический потенциал Ψ должен быть заменён на Ψ+Ψ'.
Во всех случаях, где в проводящих контурах возникает ток, электродвижущая сила является линейным интегралом, взятым вдоль замкнутого контура:
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(10)
Величина Ψ исчезает при интегрировании, и поэтому введение Ψ' не влияет на значение 𝐸. Следовательно, во всех явлениях, относящихся к замкнутым контурам и токам в них, безразлично, будут ли оси, к которым мы относим систему, в покое или в движении, см. п. 668.
Об электромагнитной силе, действующей на проводник, переносящий электрический ток через магнитное поле
602. В общем исследовании (п. 583) мы видели, что если есть одна из переменных, определяющих положение и форму вторичного контура, а 𝑋1 - сила, действующая на вторичный контур и стремящаяся увеличить значение этой переменной, то
𝑋
1
=
𝑑𝑀
𝑑𝑥1
𝑖
1
𝑖
2
.
