∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐺
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑠
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑²𝑥
𝑑𝑠𝑑𝑡
+
𝐺
𝑑²𝑦
𝑑𝑠𝑑𝑡
+
𝐻
𝑑²𝑧
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(2)
Возьмём теперь второй член этого интеграла и подставим в него величины 𝑑𝐺/𝑑𝑥 и 𝑑𝐻/𝑑𝑥 из уравнений (А) п. 591. Тогда этот член примет вид
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑠
,
и мы можем записать его так:
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
Поступая так же с третьим и четвёртым членами, собирая члены, содержащие 𝑑𝑥/𝑑𝑠, 𝑑𝑦/𝑑𝑠 и 𝑑𝑧/𝑑𝑠, и помня, что
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝐹
𝑑²𝑥
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
=
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
,
(3)
и, следовательно, интеграл от него, взятый вдоль замкнутой кривой, исчезает, получим
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
-
𝑑𝐹
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑠
+
∫
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑡
-
𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-
𝑑𝐺
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑠
+
∫
⎛
⎜
⎝
𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-
𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-
𝑑𝐻
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑧
𝑑𝑠
𝑑𝑠
.
(4)
Это выражение мы можем записать в виде
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(5)
где
𝑃=𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
-
𝑑𝐹
𝑑𝑡
-
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(Уравнения
Электродвижущей
Напряжённости)
𝑄=𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑡
-𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-
𝑑𝐺
𝑑𝑡
-
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝑅=𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-
𝑑𝐻
𝑑𝑡
-
𝑑Ψ
𝑑𝑧
.
(B)
Члены, включающие в себя новую величину Ψ, введены для того, чтобы придать общность выражениям для 𝑃, 𝑄, 𝑅. Эти члены исчезают, когда интеграл берётся по замкнутому контуру. В рамках интересующей нас задачи отыскания электродвижущей силы вдоль контура величина Ψ является, таким образом, неопределённой. Однако мы увидим, что, когда мы знаем все относящиеся к задаче обстоятельства, мы можем приписать величине Ψ вполне точное значение, представляющее, согласно известному определению, электрический потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧).
Величина же, стоящая под знаком интеграла в уравнении (5), представляет собой электродвижущую напряжённость, действующую на элемент контура 𝑑𝑠.
Обозначим через 𝑇.𝔈 численное значение результирующей 𝑃, 𝑄, 𝑅, а через ε - угол между направлением этой результирующей и направлением элемента 𝑑𝑟, тогда вместо уравнения (5) мы можем записать
𝐸
=
∫
𝑇.𝔈
cos ε
𝑑𝑠
.
(6)
Вектор 𝔈 есть электродвижущая напряжённость движущегося элемента 𝑑𝑠. Её направление и величина зависят от положения и движения 𝑑𝑠, а также от изменения магнитного поля и не зависят от направления 𝑑𝑠. Поэтому мы теперь можем не учитывать то обстоятельство, что элемент 𝑑𝑠 является частью контура, и считать его просто участком движущегося тела, находящимся под действием электродвижущей силы. Электродвижущая напряжённость уже была определена нами в п. 68. Её называют также результирующей электрической силой, поскольку это та сила, действие которой испытывала бы на себе единица положительного электричества, помещённая в данную точку. Мы получили теперь наиболее общее выражение этой величины для случая тела, движущегося в магнитном поле, обусловленном изменяющейся электрической системой.
Если это тело представляет собой проводник, то электродвижущая сила создаёт ток, если же это диэлектрик - она создаст только электрическое смещение.
Электродвижущую напряжённость или силу, действующую на частицу, следует тщательно отличать от электродвижущей силы вдоль участка кривой. Последняя является линейным интегралом от первой, см. п. 69.
599. Электродвижущая напряжённость, компоненты которой определяются уравнениями (В), зависит от трёх обстоятельств. Первое из них - это движение частицы через магнитное поле. Часть силы, зависящая от этого движения, выражается первыми двумя членами правых частей каждого из уравнений. Она зависит от скорости частицы, поперечной по отношению к линиям магнитной индукции. Если 𝔊 есть вектор, представляющий скорость, а 𝔅 - вектор, представляющий магнитную индукцию, то, если 𝔈1 - часть электродвижущей напряжённости, которая зависит от движения, получим
𝔈
1
=
𝑉.
(7)
т.е. электродвижущая напряжённость есть векторная часть произведения магнитной индукции на скорость, иначе говоря, величина электрической силы представляется площадью параллелограмма, стороны которого представлены скоростью и магнитной индукцией, а её направление есть направление нормали к этому параллелограмму, проведённой так, чтобы скорость, магнитная индукция и электродвижущая напряжённость составляли правую циклическую последовательность.
Третий член в каждом из уравнений (В) зависит от изменения магнитного поля во времени. Оно может быть обусловлено либо изменением во времени электрического тока в первичном контуре, либо движением первичного контура. Пусть 𝔈2 будет той частью электродвижущей напряжённости, которая зависит от этих членов. Её составляющие равны -𝑑𝐹/𝑑𝑡, -𝑑𝐺/𝑑𝑡, -𝑑𝐻/𝑑𝑡.
