Таким образом, мы имеем
𝑇
=
𝑇
𝑚
+
𝑇
𝑒
+
𝑇
𝑚𝑒
,
где
𝑇
𝑚
=
1
2
(𝑥
1
𝑥
1
)
𝑥̇
1
²
+…+
(𝑥
1
𝑥
2
)
𝑥̇
1
𝑥̇
2
+…,
𝑇
𝑒
=
1
2
(𝑦
1
𝑦
1
)
𝑦̇
1
²
+…+
(𝑦
1
𝑦
2
)
𝑦̇
1
𝑦̇
2
+…,
𝑇
𝑚𝑒
=
(𝑥
1
𝑦
1
)
𝑥̇
1
𝑦̇
1
+….
572. В общей динамической теории коэффициенты перед каждым членом могут быть функциями всех координат, как 𝑥, так и 𝑦. Однако в случае электрических токов легко увидеть, что координаты класса 𝑦 не входят в коэффициенты.
Действительно, если все электрические токи поддерживаются постоянными, а проводники покоятся, общее состояние поля остаётся неизменным. Но в этом случае координаты 𝑦 переменны, хотя скорости 𝑦̇ постоянны. Следовательно, координаты 𝑦 не могут входить в выражение для 𝑇 или в другие выражения, относящиеся к чему-либо реальному.
Кроме того, согласно уравнению непрерывности, если проводники по своему характеру являются линейными контурами, для выражения силы тока в каждом из них требуется только одна переменная. Пусть скорости 𝑦̇1,𝑦̇2,…, представляют собой силы токов в нескольких проводниках.
Всё это оставалось бы верным, и если вместо электрических токов мы имели бы потоки несжимаемой жидкости, текущей в гибких трубах. В этом случае скорости потоков вошли бы в выражение для 𝑇, но коэффициенты зависели бы только от переменных 𝑥, определяющих форму и положение труб.
В случае жидкости её движение в одной трубе не влияет непосредственно на движение любой другой трубы или жидкости в ней. Следовательно, в значение 𝑆𝑒 входят только квадраты скоростей 𝑦̇, но не их произведения, а в 𝑆𝑚𝑒 любая скорость 𝑦̇ связана лишь с теми скоростями класса 𝑥̇, которые принадлежат её собственной трубе.
Мы знаем, что в случае электрических токов это ограничение не имеет места, поскольку токи в различных контурах действуют друг на друга. Следовательно, мы должны допустить наличие членов, включающих произведения вида 𝑦̇1𝑦̇2, и это предполагает существование чего-то находящегося в движении, которое зависит от силы обоих электрических токов 𝑦̇1 и 𝑦̇2 эта движущаяся материя, чем бы она ни оказалась, не находится во внутренних областях проводников, несущих оба тока, а, вероятно, распределена во всём окружающем их пространстве.
573. Рассмотрим далее, какой вид принимают уравнения движения Лагранжа в этом случае. Пусть 𝑋' - приложенная сила, соответствующая координате 𝑥 - одной из тех, которые определяют форму и положение проводящих контуров. Она является силой в обычном смысле, т.е. величиной, определяющей тенденцию к изменению положения и задаваемой уравнением
𝑋'
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
-
𝑑𝑇
𝑑𝑥
.
Мы можем рассматривать эту силу как сумму трёх частей в соответствии с частями, на которые мы разделили кинетическую энергию системы, различая их с помощью тех же индексов. Таким образом, 𝑋'=𝑋'𝑚+𝑋'𝑒+𝑋'𝑚𝑒.
Часть 𝑋'𝑚 определяется с помощью обычного динамического метода, и у нас нет необходимости рассматривать её.
Поскольку 𝑇𝑒 не содержит 𝑥̇ первый член в выражении для 𝑋'𝑒 равен нулю, и её значение сводится к следующему: 𝑋'𝑒=-𝑑𝑇𝑒/𝑑𝑥.
Это есть выражение для механической силы, которую следует приложить к проводнику, чтобы уравновесить электромагнитную силу; оно означает, что сила измеряется скоростью уменьшения чисто электрокинетической энергии, обусловленной изменением координаты 𝑥. Электромагнитная сила 𝑋𝑒 которая вводит в игру эту внешнюю механическую силу, равна по величине, но противоположна по знаку силе 𝑋'𝑒 и измеряется, следовательно, скоростью увеличения электрокинетической энергии, соответствующей увеличению координаты 𝑥. Поскольку значение 𝑋𝑒 зависит от квадратов и произведений токов, оно остаётся тем же самым, если поменять направления всех токов на обратные.
Третья часть 𝑋' равна
𝑋'
𝑚𝑒
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑚𝑒
𝑑𝑥̇
-
𝑑𝑇𝑚𝑒
𝑑𝑥
.
Величина 𝑇𝑚𝑒 содержит только произведения вида 𝑥̇𝑦̇, так что 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑥̇ является линейной функцией сил токов 𝑦̇. Первый член, таким образом, зависит от скорости изменения сил токов и определяет механическую силу, действующую на проводник; сила эта равна нулю, когда токи постоянны, и положительна или отрицательна в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются величины токов.
Второй член зависит не от изменения токов, а от их действительной величины. Поскольку относительно этих токов он является линейной функцией, то его знак меняется при смене знака токов. Поскольку скорость 𝑥̇ входит во все члены, они обращаются в нуль, когда проводники покоятся. Из-за изменения во времени коэффициентов при 𝑦̇ в выражении для 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑥̇ появляются ещё несколько членов. Сделанные нами замечания относятся и к ним.
Мы можем, таким образом, исследовать эти члены отдельно: если проводники покоятся, иметь дело только с первым членом, если токи постоянны - только со вторым.
574. Очень важно установить, представляется ли какая-нибудь доля кинетической энергии в форме 𝑇𝑚𝑒, т.е. в форме, содержащей произведения обычных скоростей и сил электрических токов; поэтому было бы желательным проведение экспериментов, относящихся к этому вопросу, с особой тщательностью.
Трудно определить силы, действующие на тела при их быстром движении; поэтому мы проследим за первым членом, который зависит от изменения силы тока.
Если какая-то часть кинетической энергии зависит от произведения обычной скорости и силы тока, то, вероятно, её легче всего наблюдать в условиях, когда скорость и ток имеют одинаковые или противоположные направления. Возьмём круговую катушку с большим числом витков и подвесим её на тонком вертикальном проводе так, чтобы витки были горизонтальны, а катушка могла вращаться вокруг вертикальной оси либо в направлении, совпадающем с направлением тока в катушке, либо в противоположном направлении.
Мы будем предполагать, что ток подводится к катушке с помощью подвешивающего провода, а после прохождения тока через витки катушки его цепь замыкается через провод, идущий вниз вдоль линии подвеса и погружённый в чашку со ртутью.
Поскольку при прохождении тока через катушку действие горизонтальной компоненты земного магнетизма стремится повернуть эту катушку вокруг горизонтальной оси, мы будем предполагать, что горизонтальная компонента земного магнетизма в точности нейтрализуется с помощью неподвижных магнитов, или что эксперимент производится на магнитном полюсе. К катушке прикрепляется вертикальное зеркальце, позволяющее обнаружить любое её азимутальное движение [рис. 33].
