Далее, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞1,…,
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞1
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
=
0,
(18)
или производная от кинетической энергии, выраженная как функция скоростей, равна по величине и противоположна по знаку производной от энергии 𝑇, выраженной как функция импульсов.
В силу уравнения (18) мы можем записать уравнение движения (9) так:
𝐹
1
=
𝑑𝑝
1
-
𝑑𝑇
𝑞̇
,
𝑑𝑡
𝑑𝑞
1
(19)
или
𝐹
1
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
-
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
(20)
Уравнения движения в такой форме были даны Лагранжем.
565. В предыдущих исследованиях мы избегали рассмотрения вида функции, выражающей кинетическую энергию через скорости или импульсы, и приняли для неё единственное явное выражение
𝑇
𝑝𝑞̇
=
=½(
𝑝
1
𝑞̇
1
+
𝑝
2
𝑞̇
2
+…)
,
(21)
в котором кинетическая энергия выражена как полусумма произведений каждого импульса на соответствующую ему скорость.
Мы можем выразить скорости через частные производные от 𝑇𝑝 по импульсам, как и в уравнении (3):
𝑇
𝑝
=
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑝
1
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
+
𝑝
2
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
+…
⎞
⎟
⎠
.
(22)
Это показывает, что 𝑇𝑝 является однородной функцией вторых степеней импульсов 𝑝1,𝑝2,….
Мы можем также выразить импульсы через 𝑇𝑞̇ и найдём
𝑇
𝑞̇
=
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑞̇
1
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
+
𝑞̇
2
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
+…
⎞
⎟
⎠
,
(23)
откуда видно, что 𝑇𝑞̇ есть однородная функция вторых степеней скоростей 𝑞̇1,𝑞̇2,….
Если мы запишем
𝑃
11
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1²
,
𝑃
12
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1𝑑𝑞̇2
, …
и
𝑄
11
вместо
𝑑²𝑇𝑝
𝑑𝑝1²
,
𝑄
12
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑝1𝑑𝑝2
, … ,
то, поскольку 𝑇𝑞̇ и 𝑇𝑝 являются функциями второй степени 𝑞̇ и 𝑝 соответственно, 𝑄 и 𝑃 должны быть функциями только переменных 𝑞 и не зависеть от скоростей и импульсов. Таким образом, мы получаем выражения для 𝑇:
2𝑇
𝑞̇
=
𝑃
11
𝑞̇
1
²
+
𝑃
12
𝑞̇
1
𝑞̇
2
+…,
(24)
2𝑇
𝑝
=
𝑄
11
𝑝
1
²
+
𝑄
12
𝑝
1
𝑝
2
+….
(25)
Импульсы выражаются через скорости с помощью линейных уравнений
𝑝
1
=
𝑃
11
𝑞̇
1
+
𝑃
12
𝑞̇
2
+…,
(26)
и скорости выражаются через импульсы с помощью линейных уравнений
𝑞̇
1
=
𝑄
11
𝑝
1
+
𝑄
12
𝑝
2
+….
(27)
В трактатах по динамике твёрдого тела коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃11, т.е. имеющие одинаковые индексы, называются моментами инерции, а коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃12, в которых индексы различны, называются произведениями инерции. Мы можем распространить эти названия и на более общую задачу, которая в настоящее время стоит перед нами и в которой эти величины, в отличие от случая твёрдого тела, не являются абсолютными константами, а зависят от переменных 𝑞1,𝑞2,….
Подобным же образом мы можем назвать коэффициенты типа 𝑄11 моментами подвижности, а коэффициенты типа 𝑄12 - произведениями подвижности. Однако нам не часто представится возможность говорить об этих самых коэффициентах подвижности.
566. Кинетическая энергия системы является величиной, существенно положительной или равной нулю. Отсюда следует, что коэффициенты должны быть такими, чтобы никакие вещественные значения переменных величин не могли бы сделать энергию отрицательной, независимо от того, выражена ли она через скорости или через импульсы.
Таким образом, существует целый набор необходимых условий, которым должны удовлетворять значения коэффициентов 𝑃. Эти условия следующие.
Все величины 𝑃11,𝑃12,… должны быть положительны.
Все (𝑛-1) определителей, которые последовательно получаются из детерминанта
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑃
11
,
𝑃
12
,
𝑃
13
,
…
𝑃
1𝑛
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑃
21
,
𝑃
22
,
𝑃
23
,
…
𝑃
2𝑛
𝑃
31
,
𝑃
32
,
𝑃
33
,
…
𝑃
3𝑛
…
…
…
…
…
𝑃
𝑛1
,
𝑃
𝑛2
,
𝑃
𝑛3
,
…
𝑃
3𝑛
путём убирания членов, содержащих индекс 1, затем членов, содержащих индекс 1 или 2, и т.д., должны быть положительны.
Число условий для 𝑛 переменных равно, таким образом, 2𝑛-1.
Коэффициенты 𝑄 подчиняются условиям того же вида.
567. В этой сводке основных принципов динамики системы со связями мы оставили вне поля зрения сам механизм, при помощи которого связаны различные части системы. Мы даже не выписали систему уравнений, показывающих зависимость движения какой-либо части системы от изменения переменных, и ограничили наше внимание лишь рассмотрением переменных, их скоростей, импульсов, а также сил, действующих на описываемые этими переменными части системы. Единственные принятые нами допущения состоят в том, что система имеет только такие связи, в уравнения для которых время не входит явно, и что к системе применим принцип сохранения энергии.
