Но приращение кинетической энергии появляется за счёт работы, совершаемой приложенными силами, т.е.
δ𝑇
𝑝
=
(
∑
δ𝑞
).
(8)
Вариации δ𝑞, входящие в эти два выражения, независимы, и мы вправе приравнять в (7) и (8) коэффициенты при них. В результате получаем
𝐹
𝑟
=
𝑑𝑝
𝑟
+
𝑑𝑇
𝑝
,
𝑑𝑡
𝑑𝑞
𝑟
(9)
где импульс 𝑝𝑟 и сила 𝐹𝑟, относятся к переменной 𝑞𝑟.
Уравнений такого вида существует столько же, сколько и переменных. Эти уравнения получены Гамильтоном. Они показывают, что сила, соответствующая какой-либо переменной, представляется в виде суммы двух частей. Первая есть скорость увеличения во времени импульса, относящегося к данной переменной. Вторая часть есть скорость увеличения кинетической энергии, приходящейся на единицу приращения данной переменной при условии, что другие переменные, а также все импульсы остаются постоянными.
Кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости
562. Пусть 𝑝1,𝑝2,… - импульсы, а 𝑞̇1,𝑞̇2,… - скорости в данный момент времени, и пусть p1,p2,…, q̇1,q̇2,… - другая система импульсов и скоростей, таких, что
p
1
=𝑛𝑝
1
,
q̇
1
=𝑛𝑞̇
1
,…
(10)
Ясно, что наборы p, q̇ будут совместны друг с другом, если совместны наборы 𝑝, 𝑞̇.
Пусть теперь значение 𝑛 изменяется на δ𝑛. Работа, совершаемая силой 𝐹1 равна
𝐹
1
δq
1
=
q̇
1
δp
1
=
𝑞̇
1
𝑝
1
𝑛δ𝑛
.
(11)
Если 𝑛 увеличивается от 0 до 1, то система переводится из состояния покоя в состояние движения (𝑞̇,𝑝) и вся работа, затраченная на создание этого движения, равна
(
𝑞̇
1
𝑝
1
+
𝑞̇
2
𝑝
2
+…)
1
∫
0
𝑛𝑑𝑛
.
(12)
Но
1
∫
0
𝑛𝑑𝑛
=
1
2
,
а работа, затрачиваемая на создание движения, эквивалентна кинетической энергии. Отсюда
𝑇
𝑝𝑞̇
=
½(
𝑝
1
𝑞̇
1
+
𝑝
2
𝑞̇
2
+…)
,
(13)
где через 𝑇𝑝𝑞̇ обозначена кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости. Переменные 𝑞̇1,𝑞̇2,… в это выражение не входят.
Таким образом, кинетическая энергия равна полусумме произведений импульсов на соответствующие скорости.
Выраженную в таком виде кинетическую энергию мы будем обозначать символом 𝑇𝑝𝑞̇ Она является функцией только импульсов и скоростей и не включает в себя сами переменные.
563. Существует и третий метод представления кинетической энергии, который обычно рассматривается как основной. Решая уравнения (3), мы можем выразить импульсы через скорости, а затем, вводя эти величины в (13), получим выражение для 𝑇, содержащее только скорости и переменные. Когда энергия 𝑇 выражена в этом виде, мы будем отмечать её символом 𝑇𝑞̇. Именно в таком представлении кинетическая энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.
564. Ясно, что поскольку 𝑇𝑝, 𝑇𝑞̇ и 𝑇𝑝𝑞̇ - представляют собой три различных выражения для одной и той же величины, то
𝑇
𝑝
+
𝑇
𝑞̇
-
2𝑇
𝑝𝑞̇
=0
, или
𝑇
𝑝
+
𝑇
𝑞̇
-
𝑝
1
𝑞̇
1
-
𝑝
2
𝑞̇
2
-…
=0.
(14)
Отсюда, если варьируются все величины 𝑝, 𝑞, и 𝑞̇, то
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
-
𝑞̇
1
⎞
⎟
⎠
δ𝑝
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
-
𝑞̇
2
⎞
⎟
⎠
δ𝑝
1
+…
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
-
𝑝
1
⎞
⎟
⎠
δ𝑞̇
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
-
𝑝
2
⎞
⎟
⎠
δ𝑞̇
2
+…
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
⎞
⎟
⎠
δ𝑞
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞2
⎞
⎟
⎠
δ𝑞
2
+…
=0.
(15)
Вариации δ𝑝 не являются независимыми от вариаций δ𝑞 и δ𝑞̇, так что мы не можем сразу утверждать, что коэффициент при каждой вариации в этом уравнении равен нулю. Но из уравнений (3) мы знаем, что
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
-
𝑞̇
1
=0,
…,
(16)
и поэтому члены, содержащие вариации δ𝑝, исчезают сами по себе.
Теперь уже все оставшиеся вариации δ𝑞 и δ𝑞̇ независимы, так что, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞̇1 и т.д., мы находим
𝑝
1
=
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
,
𝑝
2
=
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
,
…,
(17)
или составляющие импульса равны производным от 𝑇𝑞̇ по соответствующим скоростям.
