Чем меньшим предполагается приращение времени δ𝑡, тем большими должны быть приложенные силы, но интеграл по времени от каждой силы, или импульс каждой силы, останется конечным. Предельное значение импульса силы при уменьшении интервала времени до нуля определяется как мгновенный импульс силы, а импульс системы 𝑝, соответствующий любой переменной 𝑞, определяется как относящийся к той же самой переменной импульс силы, при котором система мгновенно переводится из состояния покоя в заданное состояние движения.
Такой подход, согласно которому импульсы системы могут создаваться в результате действия на покоящуюся систему мгновенных импульсов сил, вводится лишь как способ определения величины импульсов, ибо импульсы системы зависят только от мгновенного состояния её движения, но не от процесса получения этого состояния.
В связанной системе импульс, соответствующий любой переменной, является в общем случае линейной функцией скоростей всех переменных вместо того, чтобы быть величиной, пропорциональной скорости, как это имеет место в динамике одной частицы.
Импульсы силы, необходимые для мгновенного изменения скоростей системы от 𝑞̇1,𝑞̇2,… до 𝑞̇1',𝑞̇2',…, очевидно, равны изменениям импульсов, относящихся к различным переменным 𝑝1'-𝑝1, 𝑝2'-𝑝2.
Работа, совершаемая малым импульсом силы
559. Работа, совершаемая силой 𝐹1 за время действия импульса силы, равна пространственному интегралу от силы, или
𝑊
=
∫
𝐹
1
𝑑𝑞
1
, =
∫
𝐹
1
𝑞̇
1
𝑑𝑡
.
Если 𝑞̇1' -наибольшее, а 𝑞̇1'' -наименьшее значение скорости 𝑞̇1 за время действия силы, то работа 𝑊 должна быть меньшей, чем 𝑞̇1∫𝐹𝑑𝑡, или 𝑞̇1'(𝑝1'-𝑝1), и большей, чем 𝑞̇1''∫𝐹𝑑𝑡, или 𝑞̇1''(𝑝1'-𝑝1).
Если мы теперь предположим, что импульс силы ∫𝐹𝑑𝑡 будет беспредельно уменьшаться, то величины 𝑞̇1' и 𝑞̇1'' будут сближаться и в конечном счёте совпадут с величиной 𝑞̇1; значит, мы можем написать 𝑝1'-𝑝1=δ𝑝1, так что совершенная работа в пределе будет равна δ𝑊1=𝑞̇1δ𝑝1, или работа, совершаемая очень малым импульсом силы, в пределе равна произведению импульса силы на скорость.
Приращение кинетической энергии
560. Когда на приведение в движение консервативной системы затрачивается некоторая работа, то системе сообщается энергия, в результате у неё появляется способность совершать равное количество работы на преодоление сопротивлений при переходе системы в состояние покоя.
Энергия, которой обладает система благодаря своему движению, называется кинетической энергией; эта энергия сообщается системе в форме работы, совершаемой силами, приводящими её в движение.
Если 𝑇 - кинетическая энергия системы, и она за счёт действия бесконечно малого импульса сил с компонентами δ𝑝1,δ𝑝2,… становится равной 𝑇+δ𝑇, то приращение δ𝑇 должно быть суммой количества работ, совершаемых составляющими импульса силы, или в формульном представлении
δ𝑇
=
𝑞̇
1
δ𝑝
1
+
𝑞̇
2
δ𝑝
2
+…,
=
∑
(𝑞̇δ𝑝)
.
(1)
Мгновенное состояние системы полностью определено, если заданы её переменные и импульсы. Следовательно, кинетическая энергия, зависящая от мгновенного состояния системы, может быть выражена через переменные (𝑞) и импульсы (𝑝). Этот способ представления 𝑇 был введён Гамильтоном. Когда 𝑇 выражена таким образом, мы будем отличать это при помощи индекса 𝑝, т.е. 𝑇𝑝.
Полная вариация 𝑇𝑝 равна
δ𝑇
𝑝
=
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
⎞
⎟
⎠
+
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Последний член может быть записан в виде
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
𝑞̇
δ𝑡
⎞
⎟
⎠
,
он уменьшается вместе с δ𝑡 и в пределе, когда импульс силы становится мгновенным, исчезает.
Следовательно, приравнивая в уравнениях (1) и (2) коэффициенты перед δ𝑝, получаем
𝑞̇
=
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
,
(3)
или, скорость, соответствующая переменной 𝑞 равна частной производной от 𝑇𝑝 по соответствующему импульсу 𝑝.
Мы пришли к этому результату, рассматривая импульсные силы и тем самым избежав рассмотрения изменения конфигурации системы за время их действия. Но мгновенное состояние системы оказывается одним и тем же во всех отношениях независимо от того, была ли система приведена в данное состояние движения из состояния покоя путём приложения к ней короткодействующих импульсных сил или же система пришла в это состояние каким-то другим способом, хотя бы и постепенным.
Другими словами, и переменные, и соответствующие скорости, и импульсы зависят от фактического состояния движения системы в данный момент, а не от его предыстории.
Следовательно, уравнение (3) одинаково справедливо, предполагаем ли мы, что состояние движения системы обусловлено импульсными силами или силами, действующими каким бы то ни было другим способом.
Мы можем поэтому устранить из рассмотрения импульсные силы вместе со всеми ограничениями, налагаемыми на продолжительность их действия и на изменения конфигурации системы в течение их действия.
Уравнения движения Гамильтона
561. Мы показали уже, что
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
=
𝑞̇
,
(4)
Пусть система движется произвольным образом, подчиняясь наложенным на неё связям, тогда вариации 𝑝 и 𝑞 будут равны
δ𝑝
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
δ𝑡
,
δ𝑞
=
𝑞̇
δ𝑡
.
(5)
Отсюда
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
𝑞̇
δ𝑡
, =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
δ𝑞
,
(6)
а полная вариация 𝑇𝑝 равна
δ𝑇
𝑝
=
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
+
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
,
=
∑
⎛
⎜
⎝
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
⎫
⎪
⎭
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
.
(7)
