(25)
и уравнения (11) становятся такими:
𝑅
=-
𝑑ρ
𝑑𝑟
cos ε
+
𝑟
𝑑²
𝑑𝑠𝑑𝑠'
(𝑄+ρ)
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑆
=-
𝑑𝑄
𝑑𝑠'
,
𝑆'
=-
𝑑𝑄
𝑑𝑠
.
(26)
При таких значениях составляющих сил уравнение (13) будет иметь вид
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
=
-cos ε
𝑑ρ
𝑑𝑟
ξ
𝑟
+ξ
𝑑²
𝑑𝑠𝑑𝑠'
(𝑄+ρ)
-𝑙
𝑑𝑄
𝑑𝑠'
+𝑙'
𝑑𝑄
𝑑𝑠
,
=
cos ε
𝑑ρ
𝑑𝑥
+
𝑑²{(𝑄+ρ)ξ}
𝑑𝑠𝑑𝑠'
+𝑙
𝑑ρ
𝑑𝑠'
-𝑙'
𝑑ρ
𝑑𝑠
.
(27)
519. Пусть
𝐹
=
𝑠
∫
0
𝑙ρ
𝑑𝑠
,
𝐺
=
𝑠
∫
0
𝑚ρ
𝑑𝑠
,
𝐻
=
𝑠
∫
0
𝑛ρ
𝑑𝑠
,
(28)
𝐹'
=
𝑠'
∫
0
𝑙'ρ
𝑑𝑠'
,
𝐺'
=
𝑠'
∫
0
𝑚'ρ
𝑑𝑠'
,
𝐻'
=
𝑠'
∫
0
𝑛'ρ
𝑑𝑠'
.
(29)
Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.
Пусть 𝐿 будет новой функцией 𝑟, такой, что
𝐿
=
𝑟
∫
0
𝑟(𝑄+ρ)
𝑑𝑟
,
(30)
и пусть 𝑀 будет двойным интегралом
𝑠'
∫
0
𝑠
∫
0
ρcos ε
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
(31)
который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
=
𝑑²
𝑑𝑠𝑑𝑠'
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑀
𝑑𝑥
-
𝑑𝐿
𝑑𝑥
+𝐹
-𝐹'
⎫
⎬
⎭
.
(32)
520. Интегрируя по 𝑠 и 𝑠' между заданными пределами, находим
𝑋
=
𝑑𝑀
𝑑𝑥
-
𝑑
𝑑𝑥
(
𝐿
𝑃𝑃'
-
𝐿
𝐴𝑃'
-
𝐿
𝐴'𝑃
+
𝐿
𝐴𝐴'
),
+
𝐹
𝑃'
-
𝐹
𝐴'
-
𝐹'
𝑃
+
𝐹'
𝐴
,
(33)
где индексы у 𝐿 характеризуют расстояние 𝑟, функцией которого является 𝐿, а индексы у 𝐹 и 𝐹', характеризуют точки, в которых следует брать значения этих функций.
Исходя из этого, могут быть написаны выражения для 𝑌 и 𝑍. Умножая эти три составляющие соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, получаем
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
𝐷𝑀
-
𝐷(
𝐿
𝑃𝑃'
-
𝐿
𝐴𝑃'
-
𝐿
𝐴'𝑃
+
𝐿
𝐴𝐴'
)
-
(
𝐹'𝑑𝑥
+
𝐺'𝑑𝑦
+
𝐻'𝑑𝑧
)
(𝑃-𝐴)
+
(
𝐹𝑑𝑥
+
𝐺𝑑𝑦
+
𝐻𝑑𝑧
)
(𝑃'-𝐴')
,
(34)
где 𝐷 обозначает полный дифференциал.
Так как выражение 𝐹𝑑𝑥+𝐺𝑑𝑦+𝐻𝑑𝑧 не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, то и выражение 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 не является полным дифференциалом токов в том случае, когда один из них разомкнут.
521. Если, однако, оба тока замкнутые, то члены в 𝐿, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐹', 𝐺', 𝐻', исчезают и
𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧
=
𝐷𝑀
,
(35)
где 𝑀 есть взаимный потенциал двух замкнутых контуров, несущих единичные токи. Величина 𝑀 выражает работу, производимую электромагнитными силами над любым из проводящих контуров при его перемещении параллельно самому себе с бесконечного расстояния до места его фактического расположения. Любому изменению его положения, увеличивающему 𝑀, будет оказано содействие со стороны электромагнитных сил.
Можно показать, как в п. 490, 596, что и когда движение контура не параллельно самому себе, то силы, действующие на него, всё равно определяются через вариацию 𝑀 потенциала одного контура на другом.
522. Единственным экспериментальным фактом, использованным нами в этом исследовании, является факт, установленный Ампером и состоящий в том, что действие замкнутого контура на произвольный участок другого контура перпендикулярно направлению последнего. Все остальные этапы исследований связаны с чисто математическими соображениями, зависящими от свойств линии в пространстве. Эти рассуждения поэтому могут быть представлены в более сжатой и подходящей форме путём использования идей и языка математического метода, специально приспособленного для выражения таких геометрических соотношений, а именно метода кватернионов Гамильтона.
Это было сделано проф. Тэтом в Quarterly Journal of Mathematics, 1866, и в его трактате по Кватернионам в § 399 применительно к оригинальным исследованиям Ампера. Читатель, изучающий предмет, сможет легко распространить этот метод на несколько более общее исследование, приведённое здесь.
523. До сих пор мы не делали никаких предположений относительно величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, кроме того, что они являются функциями расстояния между элементами 𝑟. Теперь мы должны установить вид этих функций; воспользуемся для этой цели четвёртым случаем равновесия Ампера, п. 508, в котором показывается, что если линейные размеры и расстояния в системе двух контуров изменить в одинаковой пропорции, сохранив токи неизменными, то сила между двумя контурами останется прежней.
Но сила между двумя контурами для единичных токов равна 𝑑𝑀/𝑑𝑥 и, так как она не зависит от размеров системы, должна быть величиной численной. Следовательно, сама величина 𝑀, являющаяся коэффициентом взаимного потенциала контуров, должна иметь размерность длины. Тогда из (31) следует, что р должна быть величиной, обратной длине, и, следовательно, в силу (24) разность 𝐵-𝐶 должна быть обратна квадрату длины. Но так как и 𝐵 и 𝐶 являются функциями 𝑟, то разность 𝐵-𝐶 должна быть обратным квадратом 𝑟, возможно, с каким-то численным множителем перед ним.
524. Множитель, который мы принимаем, зависит от нашей системы измерений. Если мы принимаем электромагнитную систему (а она называется так потому, что согласуется с системой, уже установленной для магнитных измерений), То величина 𝑀 должна совпадать с величиной потенциала двух магнитных оболочек единичной мощности, границами которых служат соответственно два этих контура. В этом случае величина 𝑀, согласно п. 423, равна:
