Если 𝐹 есть функция положения точки, то мы будем употреблять нижний индекс (𝑠,0) для обозначения превышения значения этой функции в 𝑃 над её значением в 𝐴, т.е. 𝐹(𝑠,0)=𝐹𝑃-𝐹𝐴. Для замкнутых контуров эти функции с необходимостью исчезают.
Пусть 𝑖𝑖'𝑋, 𝑖𝑖'𝑌 и 𝑖𝑖'𝑍 будут составляющими полной силы, с которой 𝐴'𝑃' действует на 𝐴𝑃. Тогда параллельная 𝑋 составляющая силы, с которой 𝑑𝑠' действует на 𝑑𝑠, будет равна
𝑖𝑖'
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
Откуда
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
=
𝑅
ξ
𝑟
+
𝑆𝑙
+
𝑆'𝑙'
.
(13)
Подставляя значения 𝑅, 𝑆 и 𝑆' из (12) и помня, что
(𝑙'ξ+𝑚'η+𝑛'ζ)
=
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(14)
и группируя члены, содержащие 𝑙, 𝑚, 𝑛, мы найдём
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
=
𝑙
⎧
⎨
⎩
-(𝐴+2𝐶+𝐵)
1
𝑟²
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
ξ²
+𝐶
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+(𝐵+𝐶)
𝑙'ξ
𝑟
⎫
⎬
⎭
+
𝑚
⎧
⎨
⎩
-(𝐴+2𝐶+𝐵)
1
𝑟²
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
ξη
+𝐶
𝑙'η
𝑟
+𝐵
𝑚'ξ
𝑟
⎫
⎬
⎭
+
𝑛
⎧
⎨
⎩
-(𝐴+2𝐶+𝐵)
1
𝑟²
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
ξζ
+𝐶
𝑙'ζ
𝑟
+𝐵
𝑛'ξ
𝑟
⎫
⎬
⎭
.
(15)
Так как 𝐴, 𝐵 и 𝐶 являются функциями 𝑟, мы можем записать
𝑃
=
∞
∫
𝑟
(𝐴+2𝐶+𝐵)
1
𝑟²
𝑑𝑟
,
𝑄
=
∞
∫
𝑟
𝐶
𝑑𝑟
.
(16)
Здесь интегрирование проводится между 𝑟 и ∞, поскольку 𝐴, 𝐵, 𝐶 исчезают при 𝑟=∞.
Следовательно,
(𝐴+2𝐶+𝐵)
1
𝑟²
=-
𝑑𝑃
𝑑𝑟
,
𝐶
=-
𝑑𝑄
𝑑𝑟
.
(17)
516. Но мы знаем, что, согласно третьему случаю равновесия Ампера, когда 𝑠' является замкнутым контуром, сила, действующая на 𝑑𝑠, перпендикулярна к направлению 𝑑𝑠, или, другими словами, составляющая силы в направлении самого элемента 𝑑𝑠 равна нулю. Предположим в связи с этим, что направление оси 𝑥 параллельно 𝑑𝑠, т.е. положим 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0. Уравнение (15) тогда станет таким:
𝑑²𝑋
𝑑𝑠𝑑𝑠'
=
𝑑𝑃
𝑑𝑠'
ξ-
𝑑𝑄
𝑑𝑠'
+(𝐵+𝐶)
𝑙'ξ
𝑟
.
(18)
Чтобы найти 𝑑𝑋/𝑑𝑠, т.е. силу на 𝑑𝑠, отнесённую к единице длины, мы должны проинтегрировать это выражение по 𝑠'. Интегрируя первый член по частям, находим
𝑑𝑋
𝑑𝑠
=
(𝑃ξ²-𝑄)
(𝑠',0)
-
𝑠'
∫
0
(2𝑃𝑟-𝐵-𝐶)
𝑙'ξ
𝑟
𝑑𝑠'
.
(19)
Когда 𝑠' составляет замкнутый контур, это выражение должно быть нулём. Первый его член исчезнет сам. Второй член, однако, в случае замкнутого контура, вообще говоря, не исчезает, если величина, стоящая под знаком интеграла, не обращается тождественно в нуль. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Ампера, мы должны положить
𝑃
=
1
2𝑟
(𝐵+𝐶)
.
(20)
517. Мы можем теперь исключить 𝑃 и найти общее выражение для 𝑑𝑋/𝑑𝑠
𝑑𝑋
𝑑𝑠
=
⎧
⎨
⎩
𝐵+𝐶
2
ξ
𝑟
(𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ)
+𝑄
⎫
⎬
⎭
(𝑠',0)
+𝑚
𝑠'
∫
0
𝐵-𝐶
2
𝑚'ξ-𝑙'η
𝑟
𝑑𝑠'
-𝑛
𝑠'
∫
0
𝐵-𝐶
2
𝑙'ζ-𝑛'ξ
𝑟
𝑑𝑠'
.
(21)
Когда 𝑠' является замкнутым контуром, первый член этого выражения исчезает, и, если положить
α'
=
𝑠'
∫
0
𝐵-𝐶
2
𝑛'η-𝑚'ζ
𝑟
𝑑𝑠'
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
β'
=
𝑠'
∫
0
𝐵-𝐶
2
𝑙'ζ-𝑛'ξ
𝑟
𝑑𝑠'
,
γ'
=
𝑠'
∫
0
𝐵-𝐶
2
𝑚'ξ-𝑙'ζ
𝑟
𝑑𝑠'
(22)
(где интегрирование распространено на замкнутый контур 𝑠'), то мы сможем записать
𝑑𝑋
𝑑𝑠
=
𝑚γ'-𝑛β'
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
и аналогично
𝑑𝑌
𝑑𝑠
=
𝑛α'-𝑙γ',
𝑑𝑍
𝑑𝑠
=
𝑛β'-𝑙α'.
(23)
Величины α', β', γ' иногда называют определителями контура 𝑠' относительно точки 𝑃 а их результирующая названа Ампером директрисой электромагнитного действия.
Из этого уравнения очевидно, что сила, имеющая компоненты (𝑑𝑋/𝑑𝑠)𝑑𝑠, (𝑑𝑌/𝑑𝑠)𝑑𝑠 и (𝑑𝑍/𝑑𝑠)𝑑𝑠, перпендикулярна как к элементу 𝑑𝑠, так и к его директрисе; эта сила представлена численно площадью параллелограмма, сторонами которого являются элемент 𝑑𝑠 и директриса действия.
На языке кватернионов результирующая сила, действующая на 𝑑𝑠, есть векторная часть произведения директрисы на 𝑑𝑠.
Поскольку мы уже знаем, что директриса есть то же самое, что и магнитная сила, обусловленная единичным током в контуре 𝑠', то далее мы будем говорить о директрисе, как о создаваемой контуром магнитной силе.
518. Теперь мы завершим вычисления составляющих силы, действующей между двумя конечными токами, замкнутыми или разомкнутыми.
Пусть ρ будет новой функцией 𝑟, такой, что
ρ
=
∞
∫
𝑟
(𝐵-𝐶)
𝑑𝑟
,
(24)
тогда в силу (17) и (20)
𝐴+𝐵+2𝐶
=
𝑟
𝑑²
𝑑𝑟²
(𝑄+ρ)
-
𝑑
𝑑𝑟
(𝑄+ρ)
,
