Мы можем выразить и направление, и величину этой силы на языке кватернионов, сказав, что это есть векторная часть результата умножения вектора элемента тока 𝑖𝑑𝑠 на вектор магнитной индукции 𝔅 [рис. 22].

Рис. 22

491. Таким образом, мы полностью определили силу, действующую на любой участок электрического контура, помещённого в магнитное поле. Если контур двигается произвольным способом, но так, что, перебрав различные формы и положения, он возвращается в исходное место, а сила тока за время движения сохраняется постоянной, то общее количество работы, совершаемой электромагнитными силами, будет равно нулю. Так как это справедливо для любого цикла движения контура, то отсюда следует, что при помощи электромагнитных сил невозможно, преодолевая сопротивление трения и т. п., поддерживать непрерывное вращательное движение какой-либо части линейного контура с постоянной силой тока.

Непрерывное вращение, однако, может быть получено при условии, что электрический ток где-то на своём пути переходит от одного проводника к другому, скользящему или ползущему по первому проводнику.

Когда в контуре имеется скользящий контакт между проводником и гладкой поверхностью твёрдого или жидкого тела, то такую систему уже нельзя рассматривать как одиночный линейный контур с постоянной силой тока, её следует считать системой, состоящей из двух или большего числа контуров с изменяющейся силой тока, распределённого по контурам таким образом, что в тех контурах, для которых 𝑁 растёт, токи текут в положительном направлении, а в тех, где 𝑁 уменьшается, - в отрицательном.

Рис. 23

Так, в устройстве, представленном на рис. 23, 𝑂𝑃 является подвижным проводником, один конец которого покоится в чаше со ртутью 𝑂, а другой погружён в концентричный относительно 𝑂 кольцевой жёлоб со ртутью.

Ток 𝑖 входит по 𝐴𝐵 и разделяется в кольцевом жёлобе на две части, одна из которых, 𝑥, течёт по дуге 𝐵𝑄𝑃, а другая 𝑦 - по дуге 𝐵𝑅𝑃. Эти токи, соединяясь в 𝑃, текут вдоль подвижного проводника 𝑃𝑂 и электрода 𝑂𝑍 к цинковому полюсу батареи. Сила тока в 𝑂𝑃 и 𝑂𝑃 равна 𝑥+𝑦 или 𝑖. Здесь мы имеем два контура: контур 𝐴𝐵𝑄𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑥 и ток течёт в положительном направлении, а также контур 𝐴𝐵𝑅𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑦 и ток течёт в отрицательном направлении.

Пусть 𝔅 есть магнитная индукция, направленная вверх - по нормали к плоскости круга.

За время, пока 𝑂𝑃 переместится на угол θ в направлении, обратном движению часовой стрелки, площадь первого контура возрастёт на 𝑂𝑃²⋅θ/2, а площадь второго контура на ту же самую величину уменьшится. Так как сила тока в первом контуре равна 𝑥, то работа, совершенная им, равна 𝑥⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2; и так как сила тока во втором контуре равна 𝑦, работа, совершенная им, равна 𝑦⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2. Поэтому полная работа будет такой:

1

2

(𝑥+𝑦)

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

, или

1

2

𝑖

⋅

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

.

Эта работа определяется только силой тока в 𝑃𝑂. Таким образом, если ток 𝑖 поддерживается постоянным, то плечо 𝑂𝑃 будет непрерывно вращаться по кругу под действием постоянной силы, момент которой равен 𝑖⋅𝑂𝑃²⋅𝔅/2. Если, как это имеет место в северных широтах, 𝔅 действует вниз, то при токе, текущем внутрь, вращение будет происходить в отрицательном направлении, т.е. в направлении 𝑃𝑄𝐵𝑅.

492. Теперь мы в состоянии перейти от взаимного действия магнитов и токов к действию одного контура с током на другой, ибо мы знаем, что магнитные свойства электрического контура 𝐶₁ по отношению к произвольной магнитной системе 𝑀₂ совпадают с магнитными свойствами магнитной оболочки 𝑆₁, граница которой совмещена с данным контуром, а мощность численно равна силе электрического тока. Пусть магнитная система 𝑀₂ является магнитной оболочкой 𝑆₂, тогда взаимное действие между 𝑆₁ и 𝑆₂ будет равно взаимодействию между 𝑆₁ и контуром 𝐶₂, который совмещён с краем оболочки 𝑆₂ и сила тока в котором равна мощности 𝑆₂. Но это последнее действие равносильно взаимодействию между 𝐶₁ и 𝐶₂.

Следовательно, взаимодействие между двумя контурами 𝐶₁ и 𝐶₂ совпадает с взаимодействием между магнитными оболочками 𝑆₁ и 𝑆₂.

В п. 423 мы уже исследовали взаимодействие между двумя магнитными оболочками, края которых представляют собой замкнутые кривые 𝑠₁ и 𝑠₂.

Положим

𝑀

=

𝑠₂

∫

0

𝑠₁

∫

0

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

₁

𝑑𝑠

₂

,

где ε - угол между направлением элементов 𝑑𝑠₁ и 𝑑𝑠₂, 𝑟 - расстояние между ними, а интегрирование один раз проводится по 𝑠₁, а второй раз - по 𝑠₂; будем называть эту величину 𝑀 потенциалом двух замкнутых кривых 𝑠₁ и 𝑠₂. Тогда потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием двух магнитных оболочек, ограниченных двумя контурами и имеющих мощности 𝑖₁ и 𝑖₂, окажется равной -𝑖₁𝑖₂𝑀, а сила 𝑋, способствующая произвольному смещению δ𝑥, равна 𝑖₁𝑖₂(𝑑𝑀/𝑑𝑥).

Из этого результата может быть развита полная теория, описывающая силы, действующие на произвольный участок одного электрического контура со стороны другого электрического контура.

493. Метод, которому мы следовали в этой главе, принадлежит Фарадею. Вместо того чтобы начать (как мы, следуя Амперу, и будем делать в следующей главе) с прямого воздействия участка одного контура на участок другого контура, мы показали, во-первых, что контур производит то же действие на магнит, что и магнитная оболочка, или, другими словами, мы определили характер магнитного поля, создаваемого контуром. Во-вторых, мы показали, что контур, помещённый в произвольное магнитное поле, испытывает действие той же силы, что и магнитная оболочка. Таким образом, мы определили силу, действующую на контур, помещённый в любое магнитное поле. Наконец, предположив, что магнитное поле обусловлено другим электрическим контуром, мы определили действие одного электрического контура на другой: причём и на весь контур в целом, и на любую его часть.

494. Применим этот метод к случаю бесконечно протяжённого прямого тока, действующего на некоторый участок параллельного ему прямого проводника.

Предположим, что ток 𝑖 в первом проводнике течёт вертикально вниз. В этом случае конец магнита, указывающий на север, будет смотреть на правую руку наблюдателя, стоящего ногами вниз и смотрящего на этот магнит со стороны оси тока.

Поэтому линии магнитной индукции являются горизонтальными окружностями с центрами на оси тока, а положительный обход вдоль них определяется направлением север-восток-юг-запад.

Пусть теперь к западу от первого тока помещён другой вертикальный ток, текущий вниз. Линии магнитной индукции, обусловленной первым током, будут в этом случае направлены к северу. Направление силы, действующей на второй ток, должно определиться путём поворота рукоятки правого винта из надира, куда направлен ток, к северу, куда направлена магнитная индукция. Тогда винт будет перемещаться к востоку, т.е. действующая на второй ток сила окажется направленной в сторону первого тока, или, вообще говоря, поскольку это явление зависит лишь от относительного расположения токов, два параллельных текущих в одном направлении тока притягивают друг друга.

Тем же самым путём мы можем показать, что два параллельных текущих в противоположных направлениях тока отталкивают друг друга.