На рис. XVIII в конце этого тома представлено сечение эквипотенциальных поверхностей, создаваемых кольцевым током. Маленький круг представляет сечение проводящего провода, а горизонтальная линия внизу рисунка является перпендикуляром к плоскости кольцевого тока, проходящим через его центр. Эквипотенциальные поверхности (24 из них изображены для последовательных значений ω с интервалом π/6) являются поверхностями вращения, имеющими эту линию в качестве их общей оси. Они, очевидно, представляют собой вытянутые фигуры, уплощённые в направлении оси. На линии контура они встречаются друг с другом под углом в 15 градусов.
Сила, действующая на магнитный полюс, помещённый в любой точке эквипотенциальной поверхности, перпендикулярна к этой поверхности и изменяется обратно пропорционально расстоянию между последовательными поверхностями. Замкнутые кривые, окружающие сечение провода на рис. XVIII, являются линиями силы. Они воспроизведены из работы сэра У. Томсона «Вихревое движение» 2; см. также п. 702.
2Trans. R. S. Edin., vol. XXV, p. 217 (1869).
Действие электрического контура на произвольную магнитную систему
488. Теперь мы в состоянии, исходя из теории магнитных оболочек, вычислить действие электрического контура на произвольную магнитную систему, находящуюся в его окрестности. Действительно, если построить магнитную оболочку, мощность которой численно равна силе тока, а край по своему положению совпадает с контуром, причём построить так, чтобы сама оболочка нигде не пересекала магнитной системы, то действие этой оболочки на магнитную систему будет равносильно действию электрического тока.
Реакция магнитной системы на электрический контур
489. Отсюда, применяя принцип, что действие и противодействие (реакция) равны и противоположны, мы заключаем, что механическое действие магнитной системы на электрический контур равносильно действию на магнитную оболочку, имеющей этот контур в качестве своей границы.
Потенциальная энергия магнитной оболочки мощности φ, помещённой в поле магнитной силы с потенциалом 𝑉, согласно п. 410, равна
φ
∬
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали, проведённой с положительной стороны элемента оболочки 𝑑𝑆; интегрирование распространяется на всю поверхность оболочки.
Теперь поверхностный интеграл
𝑁
=
∬
(
𝑙𝑎
+
𝑚𝑏
+
𝑛𝑐
)
𝑑𝑆
,
в котором 𝑎, 𝑏, 𝑐 - составляющие магнитной индукции, представляет собой величину потока магнитной индукции через оболочку, или на языке Фарадея число линий магнитной индукции (подсчитанное алгебраически), проходящих через оболочку от отрицательной стороны к положительной; при этом линии, проходящие сквозь оболочку в противоположном направлении, считаются отрицательными .
Помня, что оболочка не принадлежит магнитной системе, обусловливающей потенциал 𝑉 и потому магнитная сила равна магнитной индукции, мы имеем
𝑎
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
𝑏
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
𝑐
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑧
,
и для значения 𝑀 можно написать 𝑀=-φ𝑁.
Если δ𝑥1 представляет собой какое-нибудь смещение оболочки, а 𝑋1 - действующую на неё и способствующую этому смещению силу, то согласно принципу сохранения энергии
𝑋
1
δ𝑥
1
+
δ𝑀
=
0
, или
𝑋
1
=
ψ
𝑑𝑁
𝑑𝑥1
.
Мы определили сейчас характер силы, соответствующей какому-либо заданному смещению оболочки: эта сила либо способствует смещению, либо противодействует ему в зависимости от того, увеличивает или уменьшает она число линий индукции 𝑁, проходящих через оболочку.
То же самое справедливо и для эквивалентного электрического контура. Любому смещению контура будет оказано содействие или сопротивление в зависимости от того, увеличивает или уменьшает это смещение число линий индукции, проходящих сквозь контур в положительном направлении.
Мы должны помнить, что положительным направлением линии магнитной индукции является то направление, по которому вдоль линии стремится двигаться полюс магнита, указывающий на север, и что линия индукции проходит сквозь контур в положительном направлении тогда, когда её направление относится к направлению тока стекловидного электричества в контуре так же, как продольное движение правого винта относится к его вращательному движению (см. п. 23).
490. Очевидно, что сила, соответствующая произвольному смещению контура как целого, может быть сразу выведена из теории магнитной оболочки. Но это ещё не всё. Если какой-либо участок контура является гибким и способным смещаться независимо от остальных, то путём разрезания поверхности оболочки на достаточное количество частей, связанных между собой гибкими соединениями, мы можем сделать также и край оболочки способным к такого же рода смещению. Отсюда мы заключаем, что если путём смещения какого-либо участка контура в заданном направлении число линий индукции, проходящих сквозь контур, может быть увеличено, то действующая на контур электромагнитная сила будет способствовать этому смещению.
Поэтому на любой участок контура действует сила, заставляющая его двигаться поперёк линий магнитной индукции так, чтобы вобрать в обхват контура как можно большее количество этих линий; работа, совершенная силой за время этого смещения, численно равна количеству добавленных линий индукции, умноженному на силу тока.
Пусть элемент 𝑑𝑠 контура, по которому протекает ток силы 𝑖, перемещён параллельно самому себе на расстояние δ𝑥, при этом движении он заметёт площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны соответственно 𝑑𝑠, δ𝑥.
Если обозначить магнитную индукцию через 𝔅 и считать, что её направление составляет угол ε с нормалью к параллелограмму, то величина прироста 𝑁, соответствующего смещению, находится путём умножения площади параллелограмма на 𝔅cos ε Результат этой операции представляется геометрически объёмом параллелепипеда, ребра которого по величине и направлению соответствуют δ𝑥, 𝑑𝑠 и 𝔅.
Объём должен считаться положительным, если какая-нибудь стрелка, направляемая последовательно в этих трёх направлениях, будет перемещаться вокруг диагонали параллелепипеда в направлении движения стрелок часов. Объём этого параллелепипеда равен 𝑋δ𝑥.
Если θ есть угол между 𝑑𝑠 и 𝔅, то площадь параллелограмма со сторонами 𝑑𝑠 и 𝔅 равна 𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ. Пусть есть угол, образуемый смещением δ𝑥 с нормалью к этому параллелограмму, тогда объём параллелепипеда равен
𝑑𝑠
⋅
𝔅 sin θ
⋅
δ𝑥
cos η
=
δ𝑁
.
Теперь
𝑋δ𝑥
=
𝑖δ𝑁
=
𝑖
𝑑𝑠
⋅
𝔅 sin θ
δ𝑥
cos η
и
𝑋
=
𝑖
𝑑𝑠
⋅
𝔅 sin θ
cos η
.
Это есть действующая на 𝑑𝑠 сила, спроектированная на направление δ𝑥.
Таким образом, направление этой силы перпендикулярно к параллелограмму, а её величина равна 𝑖⋅𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ.
Это есть площадь параллелограмма, стороны которого и по величине, и по направлению соответствуют 𝑖𝑑𝑠 и 𝔅. Следовательно, действующая на 𝑑𝑠 сила по своей величине представлена площадью этого параллелограмма, а по своему направлению - нормалью к его плоскости, проведённой в направлении поступательного движения винта с правой нарезкой, рукоятка которого поворачивается от направления тока 𝑖𝑑𝑠 к направлению магнитной индукции 𝔅.
