Многочисленными экспериментами, из которых наиболее ранние выполнены Ампером, а наиболее точные - Вебером, показали, что магнитное действие маленького плоского контура на расстояниях, больших по сравнению с его размерами, совпадает с действием магнита, ось которого нормальна к плоскости контура, а магнитный момент равен площади контура, помноженной на силу тока.

Если предположить, что на контур натянута некоторая поверхность, которая ограничена этим же контуром и тем самым образует диафрагму, и если заменить электрический ток магнитной оболочкой, совпадающей с данной поверхностью и имеющей мощность 𝑖, то магнитное действие оболочки во всех удалённых точках окажется одинаковым с магнитным действием тока.

483. До сих пор мы считали размеры контура малыми по сравнению с расстоянием между любым участком контура и областью, где исследуется поле. Теперь мы будем предполагать, что контур имеет произвольную форму и произвольные размеры; изучим его действие в произвольной точке 𝑃, но не расположенной, однако, внутри самого проводящего провода. Для этой цели Ампер ввёл следующий метод, имеющий важные геометрические применения.

Представим себе какую-нибудь поверхность 𝑆, ограниченную контуром и не проходящую через точку 𝑃. Проведём на этой поверхности два семейства линий, которые, пересекаясь друг с другом, делят поверхность на элементарные части, имеющие размеры, малые по сравнению с их расстоянием от 𝑃 и с радиусом кривизны поверхности.

Представим себе, что вокруг каждого из этих элементов течёт ток силы 𝑖, имеющий одинаковое, такое же, как и в исходном контуре, направление циркуляции во всех элементах.

Вдоль каждой из линий, разделяющих два смежных элемента, текут два равных тока силы 𝑖 в противоположных направлениях.

Эффект двух одинаковых, но противоположных токов, текущих в одном и том же месте, тождественно равен нулю, с какой бы точки зрения мы ни рассматривали эти токи. Единственными участками элементарных контуров, которые не нейтрализуются таким путём, являются участки, совпадающие с первоначальным контуром. Поэтому общий эффект элементарных контуров эквивалентен эффекту первоначального контура.

484. Теперь, поскольку каждый элементарный контур может рассматриваться как маленький плоский контур, расстояние которого от 𝑃 велико по сравнению с его размерами, мы можем заменить его элементарной магнитной оболочкой мощности 𝑖, ограничивающий край которой совпадает с этим элементарным контуром. Магнитный эффект, производимый элементарной оболочкой в точке 𝑃, эквивалентен эффекту элементарного контура. В целом все элементарные оболочки образуют магнитную оболочку мощности 𝑖, совпадающую с поверхностью 𝑆 и ограниченную первоначальным контуром; магнитное действие всей оболочки в точке 𝑃 эквивалентно действию контура.

Ясно, что действие этого контура не зависит от формы поверхности 𝑆, которая была выбрана совершенно произвольным образом, лишь бы она затягивала контур. Отсюда видно, что действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы, но не от формы самой оболочки. Этот результат мы получили раньше, в п. 410, однако весьма поучительно видеть, как он может быть выведен из электромагнитных соображений.

Поэтому магнитная сила, создаваемая контуром в произвольной точке, по величине и направлению одинакова с магнитной силой, создаваемой магнитной оболочкой, ограниченной этим контуром и не проходящей через данную точку, причём мощность оболочки численно равна силе тока. Направление тока в контуре так соотносится с направлением намагниченности оболочки, что если наблюдатель встал бы ногами на ту сторону оболочки, которую мы называем положительной и которая стремится указывать на север, то ток перед ним протекал бы справа налево.

485. Магнитный потенциал контура, однако, отличается от потенциала магнитной оболочки для тех точек, которые находятся в самом веществе магнитной оболочки.

Если ω - телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на магнитную оболочку (он считается положительным, когда ближней к 𝑃 оказывается положительная или аустральная сторона оболочки), то магнитный потенциал в произвольной точке вне самой оболочки равен ωφ, где φ - мощность оболочки. Для какой-либо точки внутри вещества самой оболочки мы можем предположить, что оболочка разделена на две части, имеющие мощности φ₁ и φ₂, такие, что φ₁+φ₂=φ, причём точка находится на положительной стороне оболочки φ₁ и на отрицательной стороне оболочки φ₂. Потенциал в этой точке равен ω(φ₁+φ₂)-4πφ₂.

На отрицательной стороне оболочки этот потенциал становится равным φ(ω-4π). Следовательно, в этом случае потенциал является непрерывным и имеющим в каждой точке единственное определённое значение. С другой стороны, в случае электрического контура магнитный потенциал в каждой точке (но не внутри проводящего провода) равен 𝑖ω, где 𝑖 - сила тока, а ω - телесный угол с вершиной в этой точке, опирающийся на контур и считающийся положительным, когда ток, если смотреть из точки 𝑃, циркулирует в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.

Величина 𝑖ω является функцией, имеющей бесконечную последовательность значений, общая разность которых равна 4π𝑖. Частные производные от 𝑖ω по координатам имеют, однако, единственные и определённые значения в каждой точке пространства.

486. Если длинный тонкий гибкий соленоидальный магнит поместить рядом с электрическим контуром, то северный и южный концы соленоида стремились бы двигаться в противоположных направлениях вокруг провода, и если бы они могли свободно подчиняться действию магнитной силы, то в конце концов магнит оказался бы скрученным вокруг провода в замкнутый виток. Если было бы возможно получить магнит с одним лишь полюсом или с полюсами, обладающими неодинаковыми мощностями, то такой магнит стал бы непрерывно двигаться, причём двигаться вокруг провода в одном направлении; но поскольку полюса у каждого магнита равны и противоположны, то такой результат никогда не может быть достигнут. Фарадей, однако, показал, как производить непрерывное вращение одного полюса магнита вокруг электрического контура, создавая возможность одному из полюсов продолжительно вращаться вокруг тока, а второму - нет.

Для того чтобы этот процесс мог повторяться сколь угодно долго, тело магнита должно переноситься при каждом обороте с одной стороны тока на другую. Чтобы осуществить это, не прерывая потока электричества, ток распределяется по двум ветвям; когда одна ветвь размыкается, позволяя пройти магниту, ток продолжает течь по другой ветви. Для этой цели Фарадей использовал кольцевой желобок со ртутью, как это показано на рис. 23, п. 491. Ток входит в жёлоб по проводу 𝐴𝐵, в 𝐵 он разделяется, после протекания по дугам 𝐵𝑄𝑃 и 𝐵𝑅𝑃 соединяется в 𝑃 и покидает жёлоб по проводу 𝑃𝑂 через чашу со ртутью 𝑂, далее он течёт вниз по вертикальному проводу, расположенному под чашей 𝑂.

Магнит (не показанный на рис. 23) установлен так, чтобы иметь возможность вращаться вместе с проводом 𝑂𝑃 вокруг вертикальной оси, проходящей через 𝑂. Тело магнита проходит через отверстие кольца, причём один полюс, скажем северный, располагается под плоскостью желоба, а второй - над ней. Поскольку магнит вращается вместе с проводом 𝑂𝑃 около вертикальной оси, то ток постепенно переходит из той ветви желоба, которая находится впереди магнита, к той ветви, которая находится позади его, так что при каждом полном обороте магнит переходит с одной стороны тока на другую. Северный полюс магнита вращается вокруг текущего вниз тока в направлении 𝑁→𝐸→𝑆→𝑊 (север-восток-юг-запад). Если ω и ω' - телесные углы (без учёта знаков) с вершинами на этих двух полюсах, опирающиеся на кольцевой жёлоб, то работа, совершаемая электромагнитной силой при полном обороте, равна 𝑚𝑖(4π-ω-ω'), где 𝑚 - мощность любого из полюсов, а 𝑖 - сила тока.

487. Попытаемся теперь составить себе представление о состоянии магнитного поля вблизи линейного электрического контура. Пусть для каждой точки пространства найдено значение телесного угла ω, опирающегося на контур, и построены поверхности постоянных значений ω. Они будут эквипотенциальными. Каждая из таких поверхностей ограничена контуром, и любые две поверхности ω₁ и ω₂, встречаются на контуре под углом (ω₁-ω₂)/2.