Момент 𝐿 может возникнуть по двум причинам: из-за упругого кручения проволоки, как в обычных крутильных весах, или из-за веса подвешенного прибора, как при двухнитевом подвесе.

В крутильных весах магнит прикрепляется к концу вертикальной проволоки, верхний конец которой можно поворачивать и измерять угол поворота с помощью поворотного круга.

Тогда мы имеем

𝐿

=

τ(α-α

₀

-θ)

=

𝑀𝐻 sin θ

.

Здесь α₀ - показание поворотного круга при совпадении оси магнита с магнитным меридианом, а α - его действительное показание. Если поворотный круг установлен так, что магнит почти перпендикулярен магнитному меридиану, т.е. θ=(π/2)-θ', то

τ

⎛

⎜

⎝

α

-

α

₀

-

π

2

+

θ'

⎞

⎟

⎠

=

𝑀𝐻

⎛

⎜

⎝

1-

1

2

θ'²

⎞

⎟

⎠

,

или

𝑀𝐻

=

τ

⎛

⎜

⎝

1+

1

2

θ'²

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

α

-

α

₀

-

π

2

+

θ'

⎞

⎟

⎠

.

Измеряя отклонение магнита в равновесии θ', мы можем вычислить 𝑀𝐻 при условии, что мы знаем τ.

Если же мы хотим узнать только относительную величину 𝐻 в различные моменты времени, то нет необходимости в знании 𝑀 или τ.

Абсолютное значение τ легко определить, подвесив на том же проводе немагнитное тело и измеряя период его колебаний: τ=4π²𝐴/𝑇², где 𝐴 - момент инерции этого тела, 𝑇 - период одного полного колебания.

Основное возражение против использования крутильных весов состоит в том, что нулевое значение α₀ подвержено изменениям. Под действием постоянной скручивающей силы, возникающей из-за стремления магнита поворачиваться к северу, провод постепенно приобретает постоянное закручивание, так что через короткие промежутки времени становится необходимым определять нулевое показание поворотного круга заново.

Двухнитевой (бифилярный) подвес

Рис. 16

Рис. 17

459. Метод подвешивания магнита на двух проволоках или нитях был введён Гауссом и Вебером. Поскольку двухнитевой подвес используется во многих электрических приборах, изучим его более подробно. Общий вид подвеса показан на рис. 16; на рис. 17 изображены проекции проволок на горизонтальную плоскость:

𝐴𝐵 и 𝐴'𝐵' - проекции двух проволок;

𝐴𝐴' и 𝐵𝐵' -линии, соединяющие верхние и нижние концы проволок;

𝑎 и 𝑏 - длины линий 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵';

α и β - их азимуты;

𝑊 и 𝑊' - вертикальные составляющие натяжения проволок;

𝑄 и 𝑄' - их горизонтальные составляющие;

ℎ - расстояние по вертикали между 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵'.

Действующие на магнит силы таковы: его вес, пара сил, обусловленная земным магнетизмом, кручение (если таковое имеется) проволок и их натяжение. Из всего этого действие магнетизма и кручение имеют характер момента. Поэтому равнодействующая натяжения должна состоять из равной весу вертикальной силы и момента сил. Следовательно, равнодействующая вертикальных составляющих натяжения направлена вдоль линии, имеющей своей проекцией точку 𝑂, которая является пересечением линий 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵'. и делит каждую из них в отношении 𝑊' к 𝑊.

Горизонтальные составляющие натяжения образуют пару сил, т.е. они равны по величине и параллельны по направлению. Обозначая каждую из них через 𝑄, для момента пары сил, которую они образуют, имеем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

,

(1)

где 𝑃𝑃' - расстояние между параллельными линиями 𝐴𝐵 и 𝐴'𝐵'.

Для определения величины 𝐿 мы имеем уравнения моментов

𝑄ℎ

=

𝑊⋅𝐴𝐵

=

𝑊'⋅𝐴'𝐵'

,

(2)

и геометрическое соотношение

(𝐴𝐵+𝐴'𝐵')𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏 sin(α-β)

,

(3)

откуда получаем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑊𝑊'

𝑊+𝑊'

sin(α-β)

.

(4)

Если масса подвешенного прибора равна 𝑚, а интенсивность гравитации 𝑔, то

𝑊+𝑊'

=

𝑚𝑔

.

(5)

Мы можем также записать

𝑊-𝑊'

=

𝑛𝑚𝑔

(6)

откуда найдём

𝐿

=

1

4

(1-𝑛²)

𝑚𝑔

𝑎𝑏

ℎ

sin(α-β)

.

(7)

Таким образом, величина 𝐿 будет иметь максимум по 𝑛 при 𝑛=0, т.е. когда вес подвешенной массы одинаково несут обе проволоки.

Мы можем отрегулировать натяжения проволок и сделать их одинаковыми путём измерения и сведения к минимуму периода колебаний, или же мы можем получить автоматическую регулировку, присоединив концы проволок, как показано на рис. 16, к блоку, который поворачивается пока натяжения не сравниваются.

Расстояние между верхними концами проволок подвеса регулируется с помощью двух других блоков. Расстояние между нижними концами проволок также допускает регулировку.

При такой регулировке натяжения момент, возникающий из-за натяжения проволок, становится равным

𝐿

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-β)

.

Момент пары сил, возникающий из-за кручения проволок, записывается в виде τ(α-β) где τ - сумма коэффициентов кручения проволок.

Кручение проволок должно отсутствовать, когда α=β, при этом можно положить γ=α.

Момент пары сил, обусловленный горизонтальной магнитной силой, имеет вид 𝑀𝐻 sin (δ-θ), где δ - магнитное склонение, а θ - азимут оси магнита. Мы избежим введения ненужных обозначений без потери общности, предположив, что ось магнита параллельна 𝐵𝐵' или что β=θ.

Тогда уравнение движения становится таким:

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

=

𝑀𝐻 sin (δ-θ)

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-θ)

+

τ(α-θ)

.

(8)

Имеется три основных положения прибора.

(1). Когда угол α примерно равен δ. Если время полного колебания в этом положении равно 𝑇₁, то

4π²𝐴

𝑇₁²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

+

𝑀𝐻

.

(9)

(2). Когда угол α близок к δ+π. Если в этом положении время полного колебания равно 𝑇₂, а северный конец магнита повёрнут к югу, то

4π²𝐴

𝑇₂²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

-

𝑀𝐻

.