=
∑
(𝐷𝑟
-5
)
∑
(𝐷𝑟
-6
)
-
∑
(𝐷𝑟
-3
)
∑
(𝐷𝑟
-8
)
.
Величина 𝐴2, найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита 𝑀. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».
Если наблюдатель может сделать лишь две серии экспериментов для расстояний 𝑟1 и 𝑟2, то вычисленные по ним величины 2𝑀/𝐻 и 𝐴2 будут равны
𝑄
=
2𝑀
𝐻
=
𝐷1𝑟15-𝐷2𝑟25
𝑟12-𝑟22
,
𝐴
2
=
𝐷2𝑟23-𝐷1𝑟13
𝐷1𝑟15-𝐷2𝑟25
𝑟
1
2
𝑟
2
2
.
Ошибка в определении величины 𝑄 равна
δ𝑄
=
𝑟15δ𝐷1-𝑟25δ𝐷2
𝑟12-𝑟22
где δ𝐷1 и δ𝐷2 - действительные ошибки измеренных отклонений 𝐷1 и 𝐷2.
Предполагая ошибки δ𝐷1 и δ𝐷2 независимыми, а вероятное значение каждой из них равным δ𝐷, для вероятной ошибки δ𝑄 вычисленного значения 𝑄 получим
(δ𝑄)²
=
𝑟110+𝑟210
(𝑟12-𝑟22)²
(δ𝐷)²
.
Считая заданным одно из расстояний, например меньшее, можно найти величину большего расстояния, при котором ошибка δ𝑄 минимальна. Это условие приводит к уравнению пятой степени относительно 𝑟12, которое имеет только один действительный корень, превышающий 𝑟22; отсюда находится наилучшее значение для 𝑟1: 𝑟1=1,3189𝑟2.
Если измерение проведено только один раз, то наилучшим является расстояние, при котором
δ𝐷
𝐷
=
√
3
δ𝑟
𝑟
,
где δ𝐷 - вероятная ошибка в измерении отклонения, а δ𝑟 - вероятная ошибка в измерении расстояния.
Метод синусов
455. Метод, который мы только что рассмотрели, можно назвать методом тангенсов, поскольку мерой магнитной силы является тангенс угла отклонения.
Теперь, вместо того чтобы линию 𝑟1, направлять на восток или на запад, будем устанавливать её до тех пор, пока она не окажется перпендикулярной оси отклонённого магнита; тогда величина 𝑅 сохранится прежней, но чтобы подвешенный магнит оставался перпендикулярным 𝑟, составляющая силы 𝐻 вдоль 𝑟 должна быть равна по величине 𝑅 и противоположно направлена, т.е. при угле отклонения θ 𝑅=𝐻 sin θ.
Этот метод называется методом синусов. Он может быть применён только при 𝑅, меньших 𝐻.
Метод синусов использован в портативной аппаратуре обсерватории Кью. Подвешенный магнит прикреплён к той части прибора, которая вращается вместе с телескопом и плечом отклоняющего магнита. Угол поворота всего устройства измеряется на азимутальном круге.
В начале аппаратура регулируется таким образом, чтобы ось телескопа совпадала со средним положением линии визирования магнита в невозмущённом положении. Если магнит совершает колебания, то истинный азимут магнитного севера находится путём наблюдения крайних положений колебания прозрачной шкалы и внесением соответствующей поправки в показания азимутального круга.
Затем на прямой стержень, проходящий через ось вращающегося устройства под прямым углом к оси телескопа, помещается отклоняющий магнит, который устанавливается так, чтобы его ось совпадала с линией, проходящей через центр подвешенного магнита.
Далее вся аппаратура поворачивается до тех пор, пока линия визирования подвешенного магнита снова не совпадёт с осью телескопа; новое показание азимута при необходимости уточняется путём измерения крайних положений осцилляций.
Разность уточнённых азимутов даёт величину отклонения, после чего следует действовать, как и в методе тангенсов, подставив лишь sin θ в выражение для 𝐷 вместо tg θ.
В этом методе отсутствует поправка на кручение нити подвеса, так как относительное положение нити, телескопа и магнита остаётся одинаковым при каждом измерении.
Оси двух магнитов при таком методе всегда расположены под прямым углом, что позволяет более аккуратно делать коррекцию длины.
456. Измерив таким способом отношение момента отклоняющего магнита к горизонтальной составляющей земного магнетизма, мы должны затем найти произведение этих величин путём определения момента сил, с которым земной магнетизм стремится повернуть этот же магнит при отклонении его оси от направления магнитного меридиана.
Есть два способа проведения такого измерения: динамический, когда измеряется время одного колебания магнита под действием земного магнетизма, и статический, когда магнит удерживается в равновесии под действием измеряемой статической пары сил и магнитной силы.
Аппаратура для динамического метода более проста, он даёт большую точность при абсолютных измерениях, но требует достаточно большого времени; статический метод допускает проведение почти мгновенных измерений и поэтому полезен при слежении за изменениями напряжённости магнитной силы, однако он требует более тонкой аппаратуры и не столь точен при абсолютных измерениях.
Метод колебаний
Подвешенный магнит с горизонтальной магнитной осью приводится в колебания в пределах малых дуг окружности. Колебания наблюдаются любым из описанных выше способов.
На шкале выбирается точка, соответствующая середине дуги колебаний, и засекается момент, когда магнит проходит через неё в положительном направлении. Если магнит не очень быстро возвращается в ту же самую точку, то засекается также момент прохождения через эту точку в отрицательном направлении; процесс этот продолжается до тех пор, пока не будет зарегистрировано (𝑛+1) прохождений в положительном направлении и 𝑛 прохождений в отрицательном направлении. Если же колебания совершаются настолько быстро, что не позволяют засекать последовательные прохождения, то можно регистрировать каждое третье или каждое пятое прохождение, обращая внимание на чередование в положительном и отрицательном направлениях.
Пусть наблюдаемые времена прохождений равны 𝑇1 𝑇2, 𝑇2𝑛+1. Положим
1
𝑛
⎛
⎜
⎝
1
2
+
𝑇
1
+
𝑇
3
+
𝑇
5
+…+
𝑇
2𝑛-1
+
1
2
𝑇
2𝑛+1
⎞
⎟
⎠
=
𝑇
𝑛+1
,
1
𝑛
⎛
⎜
⎝
1
2
+
𝑇
2
+
𝑇
4
+…+
𝑇
2𝑛-2
+
𝑇
2𝑛
⎞
⎟
⎠
=
𝑇'
𝑛+1
.
Величина 𝑇𝑛+1 является средним временем положительных прохождений, при правильном выборе точки оно должно соответствовать среднему времени отрицательных прохождений 𝑇'𝑛+1. Среднее от этих величин следует брать в качестве среднего времени прохождения средней точки.
