-
1
2
𝑀
𝐻
𝑟
1
³
tg θ
2
=
1-
𝐴
1
1
𝑟1
+
𝐴
2
1
𝑟1²
-…
.
(7)
Взяв среднее арифметическое от (6) и (7), получим
1
4
𝑀
𝐻
𝑟
1
³
(
tg θ
1
-
tg θ
2
)
=
1+
𝐴
2
1
𝑟12
+
𝐴
4
1
𝑟14
+…
.
(8)
Теперь поместим 𝑀 к западу от подвешенного магнита, установив его центр в точке, соответствующей отметке на шкале 2𝑠0-𝑠1. Для отклонений оси в двух новых положениях θ3 и θ4 получим, как и прежде:
1
4
𝑀
𝐻
𝑟
2
³
(
tg θ
3
-
tg θ
4
)
=
1+
𝐴
2
1
𝑟22
+
𝐴
4
1
𝑟24
+…
.
(9)
Допустим, что истинное положение центра подвешенного магнита не 𝑠0, а 𝑠0+σ; тогда
𝑟
1
=
𝑟-σ
,
𝑟
2
=
𝑟+σ
(10)
и
1
2
⎛
⎝
𝑟
1
𝑛
+
𝑟
2
𝑛
⎞
⎠
=
𝑟
𝑛
⎧
⎨
⎩
1+
𝑛(𝑛-1)
2
σ²
𝑟²
+…
⎫
⎬
⎭
.
(11)
Если измерения проведены достаточно аккуратно, то величиной σ²/𝑟² можно пренебречь и вместо 𝑟1𝑛 и 𝑟2𝑛 с уверенностью подставить 𝑟𝑛.
Тогда, взяв среднее арифметическое от (8) и (9), получим
1
8
𝑀
𝐻
𝑟³
(
tg θ
1
-
tg θ
2
+
tg θ
3
-
tg θ
4
)
=
1+
𝐴
2
1
𝑟²
+…
(12)
или, введя обозначение
¼
(
tg θ
1
-
tg θ
2
+
tg θ
3
-
tg θ
4
)
=
𝐷
,
(13)
найдём
1
8
𝑀
𝐻
𝐷
𝑟³
=
1+
𝐴
2
1
𝑟²
+…
.
454. Теперь мы можем рассматривать 𝐷 и 𝑟 как величины, допускающие точное определение.
Значение 𝐴2 никогда не превосходит 2𝐿² (𝐿 - половина длины магнита); поэтому на расстояниях 𝑟, значительных по сравнению с 𝐿, мы можем пренебречь членом с 𝐴2 и сразу же определить отношение 𝐻 к 𝑀. Нельзя, однако, считать, что величина 𝐴2 равна 2𝐿², она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с 𝐴4 и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.
Чтобы исключить 𝐴2, повторим эксперимент с различными расстояниями 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, …, получив для 𝐷 значения 𝐷1, 𝐷2, 𝐷3, …; тогда
𝐷
1
=
2𝑀
𝐻
⎛
⎜
⎝
1
𝑟13
+
𝐴2
𝑟15
⎞
⎟
⎠
,
𝐷
2
=
2𝑀
𝐻
⎛
⎜
⎝
1
𝑟23
+
𝐴2
𝑟25
⎞
⎟
⎠
, …, … .
Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения 𝐷 и когда не существует неопределённости в величине 𝑟, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на 𝑟-3 и сложения результатов, а второе - при умножении на 𝑟-5 и также с последующим сложением результатов.
Обозначив через ∑(𝐷𝑟-3) величину
𝐷
1
𝑟
1
-3
+
𝐷
2
𝑟
2
-3
+
𝐷
3
𝑟
3
-3
+…
и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде
∑
(𝐷𝑟
-3
)
=
2𝑀
𝐻
⎧
⎨
⎩
∑
(𝑟
-6
)
+
𝐴
2
∑
(𝑟
-8
)
⎫
⎬
⎭
,
∑
(𝐷𝑟
-5
)
=
2𝑀
𝐻
⎧
⎨
⎩
∑
(𝑟
-8
)
+
𝐴
2
∑
(𝑟
-10
)
⎫
⎬
⎭
,
откуда
2𝑀
𝐻
⎧
⎨
⎩
∑
(𝑟
-6
)
∑
(𝑟
-10
)
-
⎡
⎣
∑
(𝑟
-8
)
⎤²
⎦
⎫
⎬
⎭
=
=
∑
(𝐷𝑟
-3
)
∑
(𝐷𝑟
-10
)
-
∑
(𝐷𝑟
-5
)
∑
(𝐷𝑟
-8
)
и
𝐴
2
⎧
⎨
⎩
∑
(𝐷𝑟
-3
)
∑
(𝐷𝑟
-10
)
-
∑
(𝐷𝑟
-5
)
∑
(𝐷𝑟
-8
)
⎫
⎬
⎭
=
