Руководствуясь разумными доводами (например, поведениями представительных моделей в представительных условиях или соображениями симметрии, инвариантности и т. п.), можно попытаться угадать вид функции Лагранжа, а затем испытать её на верность по стандартной схеме: уравнения движения - интерпретация - сравнение с экспериментом. Эта схема позволила, в частности, проникнуть в физику калибровочных полей. Она выглядит настолько естественной, что даже не ассоциируется с именем Максвелла,- предельный случай полного признания, когда авторство утрачивается в силу общечеловеческой значимости, как при изобретении колеса.
5. Уравнения поля
«Теория Максвелла - это уравнения Максвелла». Эта часто цитируемая оценка принадлежит Герцу [4]. В ней есть лозунговая экстремальность - она выставляет независимость ценности правильного результата от поисковых блужданий. Конечно, в «Трактате» обсуждается ещё и множество разнообразнейших проблем разной степени важности и общности, но уравнения электродинамики, сосредоточенные в п. 591-603, несомненно являют собой их кульминацию. Фактически уравнения были найдены задолго до первого издания «Трактата» и опубликованы в 1861-1862 гг. Но это не ослабляет волнения, охватывающего при знакомстве с ними в «Трактате», наверное, из-за возможности следовать шаг за шагом максвелловским путём приближения к ним.
К счастью, Максвелл избежал участи некоторых других первооткрывателей - ему не пришлось бороться за приоритет. Уравнения были неожиданны и не сразу поняты. Многие другие исследователи, занятые аналогичными делами, т.е. развивающие свои варианты теории, не восприняли достижения Максвелла как решающие и тем более как завершающие. Одной из причин, наверное, было привлечение образной, фарадеевского толка аргументации, о чем уже несколько раз говорилось выше. Это отпугивало, по крайней мере, некоторых континентальных физиков. Как ни странно, но такая территориальная поляризация наблюдалась на самом деле: немецкая и французская наука была более привержена рассудочному, аналитическому способу познания, чем британская,- тяготевшая к образным, геометрическим методам. И шло это традиционно ещё со времён Великого Противостояния дифференциалов Лейбница и флюксий Ньютона. Вообще написанные Максвеллом уравнения показались «конкурентам» неубедительными и неубедительно обоснованными. И они не приняли их за фундаментальные исходные законы, по существу не нуждающиеся в почленной аргументации и не подлежащие выводу из иерархически более элементарных (такая потребность возникла позже в процессе создания квантовой теории поля).
Другими причинами были, видимо, изобилие этих уравнений, непривычный их облик и ещё неполная очищенность от некоторых частностей (подробности - чуть позже). Максвелл писал: «Эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако наша задача сейчас состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем» («Трактат», п. 615).
Представленная Максвеллом итоговая система уравнений (а в ней присутствовали уравнения и для полей, и для потенциалов, и материальные связи, и выражения для сил) была внутренне непротиворечива, так что решение вопроса об излишествах действительно отступало пока на второй план: всё это уладилось позже при формулировке и доказательстве теорем единственности (и существования, конечно). Первостепеннее стояла проблема полноты и замкнутости (и достоверности, конечно). По этому поводу Максвелл не позволил себе высказывать какие-либо общие сентенции, но привёл несколько простейших решений для предъявления экспериментаторам. Как мы знаем, все контрольные эффекты, предложенные самим Максвеллом (а также несколькими поколениями исследователей позже), прошли обоснованную экспериментальную экспертизу, в том смысле, что были подтверждены в пределах точности, с которой макроскопическая электродинамика оказалась вообще справедливой.
Далее мы проведём сопоставление сводных уравнений электродинамики, содержащихся в «Трактате», с уравнениями Максвелла в их современном представлении. Для этого воспроизведём формульную часть п. 618 (этот параграф имеет название «Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений») и рядом с каждой трактатной формой поместим соответствующее ей выражение в обозначениях, принятых теперь с использованием гауссовой системы единиц 10.
10 В «Трактате» сводные уравнения помечены не цифрами, а прописными буквами латинского алфавита и тем выделены от рядовых формул. Правда, три уравнения вообще никак ие означены: для них мы ввели малые греческие буквы (α), (β), (γ).
Уравнение для магнитной индукции
𝕭
=
𝑉⋅∇𝕬
,
𝐁=∇×𝐀
=
rot 𝐀
,
(A)
𝐁 - магнитная индукция, 𝐀 - вектор-потенциал (электрический)
Уравнения для электродвижущей напряжённости
𝔈
=
𝑉⋅𝔊𝔅
-
𝔄̇
-
∇Ψ
,
𝐄
=
1
𝑐
𝐮×𝐁
-
1
𝑐
∂𝐀
∂𝑡
-
∇ψ
(B)
𝐄 - напряжённость электрического поля, φ - скалярный потенциал (электрический), 𝐮 - скорость контура или системы отсчёта, 𝑐 - скорость света в вакууме.
Уравнение для механической силы
𝔉
=
𝑉⋅ℭ𝔅
+
𝑒𝔈
-
𝑚∇
Ω
,
𝐟
=
1
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×𝐁
+
ρ
𝑒
𝐄
-
ρ
𝑚
∇Ψ
,
(C)
𝐟 - объёмная плотность силы, 𝐣𝑒пол=𝐣𝑒пр+𝐣𝑒см - плотность полного (истинного электрического тока, 𝐣𝑒пр - плотность тока проводимости, 𝐣𝑒см - плотность тока смещения, ρ𝑒 - плотность электрического заряда, ρ𝑚 - плотность магнитного заряда, Ψ - скалярный потенциал (магнитный).
Уравнение для намагничения
𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
,
𝐁
=
𝐇
+
4π𝐌
,
(D)
𝐁 - магнитная индукция, 𝐇 - напряжённость магнитного поля, 𝐌 - вектор намагничения.
Уравнение для электрических токов
4πℭ
=
𝑉⋅∇ℌ
,
4π
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×𝐁
=
∇×𝐇
=
rot 𝐇
.
(E)
Уравнение для токов проводимости
𝔎
=
𝑐𝔈
,
𝐣
𝑒
пр
×𝐁
=
σ𝐄
,
(G)
σ - проводимость среды.
Уравнение для электрического смещения
𝔇
=
1
4π
𝓀𝔈
,
𝐃
=
ε𝐄
,
(α)
ε диэлектрическая проницаемость.
