Уравнение для истинного тока

ℭ

=

𝔎+𝔇

=

⎛

⎜

⎝

𝑐

+

1

4π

𝓀

⎞

⎟

⎠

𝔈

,

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

=

𝐣

^𝑒

_пр

×𝐁

+

𝐣

^𝑒

_см

×𝐁

=

⎛

⎜

⎝

σ

+

ε

4π

∂

∂𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐄

.

(H),(I)

Уравнение для электрической объёмной плотности

𝔢

=

𝑆⋅∇𝔇

,

4πρ

^𝑒

=

∇⋅𝐃

=

div 𝐃

.

(J)

Уравнение для электрической поверхностной плотности ρ^𝑒_пов

4πρ

^𝑒

_пов

=

𝐧₁₂

×

(𝐃₂-𝐃₁)

,

(K)

𝐧₁₂ - нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.

Уравнение для намагничения

𝔅

=

μℌ

,

𝐁

=

μ𝐇

,

(L)

μ - магнитная проницаемость.

Уравнение для магнитной плотности

𝔪

=

𝑆⋅∇𝔍

ρ

^𝑚

=

-div 𝐌

=

-∇⋅𝐌

.

(β)

Уравнение для магнитной силы (когда rot 𝐇=0)

ℌ

=

-∇

Ω

,

𝐇

=

-∇Ψ

.

(γ)

Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) - (γ), и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) - (γ) по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом - с признательностью за оставление их - в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) - (γ) в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.

Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:

rot 𝐇

=

4π

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

1

𝑐

∂𝐃

∂𝑡

,

(1)

rot 𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

,

(2)

div 𝐁

=

0

,

(3)

div 𝐃

=

4πρ

^𝑒

,

(4)

𝐃

=

ε𝐄

,

𝐁

=

μ𝐇

,

𝐣

^𝑒

=

σ𝐄

^𝑒

,

(5)

𝐟

_мех

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐁

.

(6)

Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) - (γ) с (1) - (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.

Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)- (4) - собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) - материальные уравнения (в их простейшей разновидности - линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями - без дисперсии). Сторонние поля 𝐄_стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) - (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.

Уравнения для полей (1) - (4) разбиваются на две пары: (1) и (4) выражают поля через их источники - электрические заряды и токи, а (2) и (3) источников не содержат, это автономная пара уравнений, определяющая связь между 𝐄 и 𝐁, причём универсально, вне зависимости от материальных соотношений и от свойств источников. Так вот, источниковые уравнения (1) и (4) написаны Максвеллом сразу в «окончательном виде», принятом потом. Это соответственно (Е) и (J). В них скрыто содержится и уравнение непрерывности для токов проводимости (или конвекции)

div 𝐣

^𝑒

+

∂ρ^𝑒

∂𝑡

=

0.

(7)

Его Максвелл не вставляет в эту совокупность, что не означает, однако, что он не относит его к числу основополагающих. Более того, отсутствие в системе (А) - (γ) уравнения непрерывности, возможно, даже обусловлено вполне последовательными доводами: Максвелл считал его более общим, так сказать, надэлектродинамическим законом природы.

Другая автономная пара (2) и (3) представлена в «Трактате» иначе. Во-первых, Максвелл ввёл в (В) проводящий контур, движущийся со скоростью и относительно других неподвижных элементов системы (среды), что позволило ему установить (так сказать, попутно, заодно) закон преобразования полей при переходе в движущуюся (инерциальную) систему отсчёта (в нерелятивистском приближении, однако). Это и есть остаточный след модели. Его легко устранить, положив 𝐮=0 (редкая ситуация, когда частный случай инициирует более общие соотношения!). Во-вторых, Максвелл не прибегнул к форме (2), (3), а как бы, опустив её (возможно, даже и не заметив этого), сразу выдал решение: уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если представить 𝐄 и 𝐁 через потенциалы 𝐀, φ, рассматриваемые пока как произвольные функции координат и времени: