454. Комментарий Д. Д. Томсона, поясняющий оптимальный выбор расстояния, на котором получается минимальная ошибка при однократном измерении, сводится к следующему: при однократном измерении

𝑄

=

2𝑀

𝐻

=

𝐷𝑟³

, ошибка

δ𝑄

=

δ𝐷𝑟³

+

3𝐷𝑟³

δ𝑟

,

если ошибки измерений δ𝐷 и δ𝑟 независимы, то

(δ𝑄)²

=

𝑟⁶(δ𝐷)²

+

9𝐷²𝑟⁴

(δ𝑟)²

=

𝑟⁶(δ𝐷)²

+

9

𝐷²

𝑟²

(δ𝑟)²

.

Эта величина минимальна, когда

δ𝐷

𝐷

=

√

3

δ𝑟

𝑟

.

486. Максвелл не приводит вывода формулы для работы, совершаемой магнитом при полном обороте вокруг оси; это место независимо комментировалось и Нивеном, и Томсоном. Мы приводим здесь некоторое объединённое рассуждение.

Как ясно из рис. 23 п. 491, при движении вокруг оси 𝑂 южный полюс (над плоскостью рисунка) и северный полюс (под плоскостью рисунка) совершают разные работы над полем. Последнее складывается из поля, создаваемого неизменным током 𝑖, текущим по подводящим проводам и вдоль оси 𝑂, и изменяющимися токами 𝑖-𝑥 и 𝑖-𝑦, текущими по контурам 𝐵𝑄𝑃𝑂 и 𝐵𝑅𝑃𝑂. При движении магнитного полюса по замкнутому контуру в постоянном магнитном поле работа отлична от нуля только в том случае, когда контур охватывает ток; следовательно, южный полюс никакой работы не совершает, а работа северного полюса (направление Север→Восток→Юг→Запад соответствует движению по часовой стрелке в плоскости рисунка) равна 4π𝑚𝑖. Поле от изменяющихся токов вычисляется как градиент скалярного потенциала; потенциал же пропорционален телесному углу, под которым виден контур с током из точки нахождения магнитного полюса. Обозначим через Ω_𝑥 и Ω_𝑦 телесные углы, под которыми видны контуры 𝐵𝑄𝑃𝑂𝑍 и 𝐵𝑅𝑃𝑂𝑍 из южного полюса магнита, а через Ω_𝑥' и Ω_𝑦' - из северного. Ясно, что при этом можно условно считать возвратную ветвь 𝑂𝑍 находящейся в плоскости рисунка - это сдвинет потенциал только на постоянную величину. Более того, нетрудно убедиться, что вклад в результирующую работу при движении полюсов по окружности вокруг оси 𝑂 даёт только поле тока, текущего по перемещающемуся отрезку 𝑃𝑂, поскольку созданное кольцевым током магнитное поле перпендикулярно направлению движения. В результате работа в поле меняющихся токов будет определяться соотношением

𝑚

2π

∫

0

⎡

⎢

⎣

(𝑖-𝑥)

𝑑

𝑑θ

(

Ω

_𝑥

+

Ω

_𝑥

')

+

(𝑖-𝑦)

𝑑

𝑑θ

(

Ω

_𝑦

+

Ω

_𝑦

')

⎤

⎥

⎦

𝑑θ

=

=

-𝑚𝑖2π

(

Ω

+

Ω

')

,

что и даёт формулу, приводимую Максвеллом.

487. Приводим изложение комментария Д. Д. Томсона, относящегося к выводу формулы для угла, под которым пересекаются на контуре две эквипотенциальные поверхности.

Для определения угла пересечения двух эквипотенциальных поверхностей, опирающихся на общий контур, рассмотрим вспомогательную сферу бесконечно малого (в масштабах контура) радиуса, касательную к кромке контура. Введём сферическую систему координат, отсчитывая полярный угол в от оси, проходящей через центр сферы параллельно касательной к контуру в месте его пересечения со сферой, а азимутальный угол φ - от этой касательной. Тогда телесный угол, под которым виден контур из центра сферы, будет равен

ω₁

=

α₁

∫

0

𝑑φ

π

∫

0

sin θ

𝑑θ

=

2α

.

Отсюда ясно, что угол между двумя эквипотенциальными поверхностями даётся формулой, приводимой в тексте:

α₁

-

α₂

=

ω₁-ω₂

2

.

Это соотношение нарушается в точках излома и самопересечения контура.

497. Максвелл считает правой стороной тока ту, которая находится справа от наблюдателя, стоящего на горизонтальной плоскости и смотрящего вдоль тока,- Коммент. Д. Д. Томсона.

536. Д. Д. Томсон обратил внимание, что независимость электромагнитной силы индукции от материала проводника предполагает, что этот материал немагнитный.

584. В конце п. 584 Д. Д. Томсоном сделано дополнение, которое ниже приводится без сокращений.

Рис. 34а

«Замечание. В Кавендишской лаборатории есть спроектированное Максвеллом устройство (модель), очень наглядно иллюстрирующее законы индукции токов. Оно воспроизведено на рис. 34, а. Буквами 𝑃 и 𝑄 отмечены диски; вращение диска 𝑃 моделирует первичный ток, вращение диска 𝑄 - вторичный. Эти диски связаны между собой шестерёнчатым дифференциалом. Промежуточная шестерёнка несёт на себе маховик, момент инерции которого можно регулировать, перемещая грузы к центру или на периферию. Сопротивление во вторичном контуре моделируется с помощью струны, перекинутой через диск 𝑄 и накрепко привязанной к эластичной ленте. Когда диск 𝑃 начинают вращать (т.е. ток начинает течь в первичной цепи), диск 𝑄 будет поворачиваться в противоположную сторону (что эквивалентно появлению обратного тока при включении первичного). Когда же скорость вращения 𝑃 установится постоянной, диск 𝑄 будет неподвижен (при постоянном токе в первичной цепи ток во вторичной отсутствует); при остановке диска 𝑃 диск 𝑄 начинает вращаться в том же направлении, в котором раньше вращался диск 𝑃 (возникновение прямого тока во вторичной цепи при размыкании первичной). Влияние железного сердечника, приводящего к увеличению индукции, может быть продемонстрировано путём увеличения момента инерции маховика».

603. К п. 603 имеется важное дополнение Д. Д. Томсона. Как известно, Максвелл не написал в трактате всех уравнений электромагнитного поля (которые в наше время известны как уравнения Максвелла), см. более подробно послесловие. Добавление Д. Д. Томсона (сделанное со ссылкой на Хевисайда) сводится к тому, что можно записать замкнутую систему уравнений для полей 𝐄, 𝐇 и 𝐁; на полусовременном языке это добавление можно сформулировать следующим образом.

Для замкнутых «истинных» токов (под «истинным» током понимается сумма токов проводимости и смещения) можно описать электрическое поле уравнением

rot 𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

,

которое вместе с уравнением

rot 𝐇

=

4π

𝑐

𝗷

_ист

,

материальными связями

𝐁

=

μ𝐇

 и

𝗷

_ист

=

⎛

⎜

⎝

σ

+

ε

4π

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

и граничными условиями полностью определяет «состояние электромагнитного поля».

604. Максвелл считает, что сила со стороны магнитного поля действует на «истинный» ток, складывающийся из тока проводимости и тока смещения. Подробное разъяснение по этому вопросу приведено в послесловии.

631. При выводе выражения (5) для энергии электрического поля Максвелл исходит из соответствующих представлений в электростатике, где электрическая напряжённость потенциальна. Однако, как известно, этот результат сохраняется и для переменных вихревых полей. В этом месте в 3-м издании есть замечание Д. Д. Томсона, аргументирующее справедливость такого обобщения. Оно опущено нами, поскольку окончательное установление выражения для энергии опирается на закон сохранения её (теорему Пойнтинга), т.е. в известной мере содержит элемент постулирования.