1
(𝑏-λ)½(𝑐-λ)½
,
𝑑β
𝑑μ
=
1
(μ-𝑏)½(𝑐-μ)½
,
𝑑γ
𝑑ν
=
1
(ν-𝑏)½(ν-𝑐)½
уравнение Лапласа принимает вид
(ν-μ)
𝑑²φ
𝑑α²
+
(ν-λ)
𝑑²φ
𝑑β²
+
(μ-λ)
𝑑²φ
𝑑γ²
=
0,
так что любые линейные функции α, β, γ удовлетворяют уравнению Лапласа.
При 𝑏=𝑐 мы можем положить
α
=-
λ
∫
0
𝑑λ
𝑏-λ
,
γ
=
ν
∫
2𝑏
𝑑ν
ν-𝑏
,
λ
=
𝑏{1-𝑒
α
}
,
ν
=
𝑏{1+𝑒
γ
}
.
Из (51) имеем
(μ-𝑏)
=
1
2
(𝑐-𝑏)
{1-cos β}
,
(𝑐-μ)
=
1
2
(𝑐-𝑏)
{1+cos β}
,
следовательно, из (50)
𝑥
=
𝑏+𝑏
(𝑒
γ
-𝑒
α
)
,
𝑦²
=
4𝑏²
𝑒
γ+α
sin²
β
2
,
𝑧²
=
4𝑏²
𝑒
γ+α
cos²
β
2
.
И если мы выберем начало координат в фокусе 𝑥=𝑏 и обозначим β через 2β', 𝑏𝑒γ через α𝑒2γ', 𝑏𝑒α через α𝑒2β, то получим
𝑥
=
𝑒
2γ'
-
𝑒
2α'
,
𝑦
=
2α𝑒
α'+γ'
sin β'
,
𝑧
=
2αε
α'+γ'
cos β'
,
откуда легко выводятся уравнения в форме (54).
Поскольку из этих уравнений следует, что радиальная составляющая электрической силы меняется как 1/𝑟, нормальная составляющая и, следовательно, поверхностная плотность будут меняться как (1/𝑟)⋅(𝑟/𝑝), где 𝑝 - перпендикуляр из фокуса на касательную плоскость; таким образом, поверхностная плотность меняется как 1/𝑝 и, следовательно, как корень квадратный из 𝑟.
164. Для более наглядного понимания утверждения Максвелла полезно пояснить его при помощи следующей иллюстрации. Пусть точки 𝐴, 𝐶 и 𝐵' являются центрами трёх сфер, причём сферы с центрами в точках 𝐵' и 𝐶 являются взаимно инверсными относительно сферы с центром в точке 𝐴. Тогда, если точка 𝐵 является инверсной для 𝐴 относительно сферы 𝐶, а 𝐶' - инверсна для 𝐴 относительно сферы 𝐵₁ то 𝐵 и 𝐵', так же как 𝐶 и 𝐶', взаимно инверсны относительно сферы 𝐴.
170. Весь текст п. 170 после выражений для α', β', γ', δ' принадлежит Нивену; он сохранён здесь, поскольку, возможно, написан по тем дополнениям в черновиках или в лекционной записи, которые остались после Максвелла.
193. Текст п. 193 после формулы (10) также принадлежит Нивену и сохранён по той же причине, что и текст в п. 170.
200. Как отметил Д. Д. Томсон, поправка на кривизну равна
⎛
⎜
⎝
1+
1
4
𝐵
𝑅
⎞
⎟
⎠
а не
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
𝐵
𝑅
⎞
⎟
⎠
,
как это приведено в тексте; однако расхождение снимается, если под R понимать не радиус серединной окружности, а радиус малого диска (цилиндра), что, по-видимому, имел в виду Максвелл.
200. Выражение (38) является приблизительным. Как указал Нивен, точный ответ имеет вид
𝑅²
𝐵
+
2
π
𝑅 ln 2
+
𝐵
4
+
𝐵
2π²
(ln 2)²
-
𝐵
π²
∞
∑
1
1
2𝑛
1
𝑛²
=
π²
12
-
1
2
(ln 2)²
,
что отличается от (38) приближённо на 0,28 В.
350. Последний абзац п. 350 отсутствует в первом издании.
357. «В журнале «Phil. Mag.» за 1877 г., т. 1, с. 515-525 г-н Оливер Лодж указал на существование недостатка в методе Манса. Поскольку электродвижущая сила батареи зависит от проходящего через неё тока, отклонение стрелки гальванометра не может быть одинаковым при обоих положениях переключателя, если справедливо, конечно, уравнение 𝑎α=𝑏γ. Г-н Лодж описывает некоторую удачно использованную им модификацию метода Манса». - Примеч. У. Нивена.
388. «В случае (3) говорят, что первый магнит ориентирован по направлению ко второму магниту, а второй ориентирован «боком» по отношению к первому. С помощью формул (6), (7) легко доказать, что если бы первый магнит был ориентирован боком по отношению ко второму, то момент сил, действующих на второй магнит, был бы равен 𝑚₁𝑚₂/𝑟². Таким образом, момент сил в случае, когда отклоняющий магнит ориентирован по направлению к отклоняемому, вдвое больше, чем в случае, когда он ориентирован боком по отношению к последнему. Гаусс показал, что если бы сила менялась обратно пропорционально 𝑝-й степени расстояния между полюсами, то момент при ориентации отклоняющего магнита по направлению к отклоняемому был бы в 𝑝 раз больше, чем в случае ориентации отклоняющего магнита боком по отношению к отклоняемому. Сравнивая моменты сил в этих двух положениях, можно проверить закон обратных квадратов более точно, чем это возможно при помощи крутильных весов». - Коммент. Д. Д. Томсона.
404. У Фарадея термин «сфонднлоид» (sphondiloid) введён в п. 3271 (т. III, с. 586) в статье «О физическом характере линий магнитной силы» (см. также п. 82). В дальнейшем этот термин не прижился.
426. Значение ϰ=1600 вставлено в текст Д. Д. Томсоном, что несколько противоречит максвелловским данным ϰ=32; 45 (см. п. 425).
443. Здесь Максвелл без оговорок рассматривает внешнюю силу 𝑥, как непосредственно воздействующую на отдельную молекулу магнита. В действительности же действующая сила может отличаться от внешней, что особенно существенно для таких веществ, как железо, где намагниченность 𝐼≫𝑥₀. На это обстоятельство обратил внимание Д. Д. Томсон.
444. Здесь Максвелл не очень чётко сформулировал своё предположение, что привело к появлению нескольких разъясняющих комментариев Д. Д. Томсона и У. Нивена. Максвелл, по-видимому, имел в виду следующую модель, в рамках которой получаются приводимые им теоретические результаты:
если внешняя сила отклоняет молекулу на угол, меньший β₀, то после снятия силы молекула возвращается в исходное состояние равновесия; если внешняя сила вызывает отклонение на угол, больший β₀, то это вызывает смещение положения равновесия молекулы до тех пор, пока отклонение от нового (смещённого) положения равновесия не станет равно β₀; после снятия намагничивающей силы такая молекула «вернётся» в новое положение равновесия.
