632. Приводим комментарий проф. Нивена, извлечённый им из письма Максвелла профессору Кристалу (Chrystal). «В п. 389 энергия, обусловленная магнитом, имеющим составляющие намагниченности 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ и помещённым в магнитное поле с составляющими магнитной силы α₂, β₂, γ₂, принята равной
-
∭
(
𝐴₁α₂
+
𝐵₁β₂
+
𝐶₁γ₂
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где интегрирование ограничено областью магнита в предположении, что 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ обращаются в нуль всюду вне её.
Однако полная энергия записывается в виде
-
1
2
∭
{
(𝐴₁+𝐴₂)
(α₁+α₂)
+…
}
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
причём интегрирование распространяется на все части пространства, где находятся намагниченные тела, и 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂ обозначают составляющие намагниченности в произвольной точке вне магнита.
Таким образом, полная энергия состоит из четырёх частей:
-
1
2
∭
(𝐴₁α₁+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(1)
эта часть постоянна, если намагниченность магнита неизменна;
-
1
2
∭
(𝐴₂α₁+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(2)
эта часть, согласно теореме Грина, равна
-
1
2
∭
(𝐴₁α₂+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(3)
и
-
1
2
∭
(𝐴₂α₂+…)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(4)
Последнюю часть мы также можем считать возникающей от жёсткой намагниченности и поэтому предполагать постоянной.
Следовательно, изменяемая часть энергии перемещаемого магнита с жёсткой намагниченностью является суммой выражений (2) и (3), а именно
-
1
2
∭
(
𝐴₁α₂
+
𝐵₁β₂
+
𝐶₁γ₂
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Помня, что смещение магнита изменяет значения α₂, β₂, γ₂, но не изменяет 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁, для составляющих силы, действующей на магнит в произвольном направлении φ, найдём
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴₁
𝑑α₂
𝑑φ
+
𝐵₁
𝑑β₂
𝑑φ
+
𝐶₁
𝑑γ₂
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Если же вместо магнита мы имеем тело, намагниченное через индукцию, выражение для силы должно быть таким же; поэтому, подставляя 𝐴₁=𝓀α,…, получим
∭
𝓀
⎛
⎜
⎝
α
𝑑α₂
𝑑φ
+
β
𝑑β₂
𝑑φ
+
γ
𝑑γ₂
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
В этом выражении нужно положить α=α₁,α₂,…, но, если намагниченное тело мало или мала величина 𝓀, мы можем пренебречь α₁ по сравнению с α₂ и получить выражение для силы, совпадающее с приведённым в п. 440:
𝑑
𝑑φ
1
2
∭
𝓀
(
α²
+
β²
+
γ²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Работа, совершаемая магнитными силами при уносе тела в бесконечность в случае, когда оно обладает небольшой индуктивной способностью и является намагниченным по индукции, равна только половине работы в случае такого же тела с такой же, но заданной жёсткой намагниченностью, поскольку индуцированный магнит теряет свою намагниченность по мере уноса его в бесконечность».
659. Со ссылкой на статью Максвелла (Royal Soc. Proc., XX, p. 160-168, см. также The Scientific Papers of J. C. Maxwell, vol. II, art. XLIX, p. 294) Нивен поясняет, что любое другое решение задачи отличается от приведённого в тексте системой замкнутых токов, зависящей от начальных условий, а не от каких-то внешних причин. Эта система токов быстро затухает; поэтому, если постулировать достаточную удалённость в прошлое начальных условий, приведённое в тексте решение будет единственным.
685. Как заметил Д. Д. Томсон, соотношения (22), (23) строго верны только в случае μ=μ'=μ₀. в противном случае надо учитывать искажения, вносимые в поле неоднородностями μ.
696. Как указал Д. Д. Томсон, это легко доказывается, если зональную гармонику 𝑃𝑖(ω) в выражении (6) для ω₁ представить в виде суммы ряда по зональным и тессеральным гармоникам относительно оси 𝐶𝑎, при этом следует воспользоваться формулой
μ
=
1
∫
μ₂
𝑑ω₁
𝑑𝑟
2π𝑐₂²
𝑑μ²
.
711. Д. Д. Томсон отмечает, что в поправочном множителе вместо численного коэффициента 3/2 необходимо использовать 3/4.
755. В конце п. 755 помещено следующее дополнение профессора Нивена:
«Приведённые далее исследования заимствованы из записей лекций Профессора Клерка Максвелла, сделанных господином Флемингом; они грустны тем, что составляют часть последней лекции, прочитанной Профессором. В записях г-на Флеминга схема эксперимента отличается от той, которая приведена в тексте книги,- там батарея и гальванометр поменяны местами».
«Выражение (8) может быть доказано следующим образом: обозначим через 𝐿₁, 𝐿₂, 𝑁 и Γ соответственно коэффициенты самоиндукции катушек 𝐴, 𝐵, 𝑎𝑏 и гальванометра. Тогда кинетическая энергия системы 𝑇 будет приближённо равна
1
2
𝐿₁𝑥̇²
+
1
2
𝐿₂𝑦̇²
+
1
2
Γ(𝑥̇-𝑦̇)²
+
1
2
𝑁γ²
+
𝑀₁𝑥̇γ
+
𝑀₂𝑦̇γ
.
Диссипативная функция 𝐹, т.е. половина скорости изменения энергии, затрачиваемой на нагрев катушек, равна (см. книгу лорда Рэлея «Теория звука», т. I, с. 78)
1
2
𝑥̇²𝑅
+
1
2
𝑦̇²𝑆
+
1
2
(𝑥̇-𝑦̇)²𝐾
+
1
2
γ²𝑄
,
где 𝑄 - сопротивление батареи вместе с принадлежащей ей катушкой.
Уравнение для токов относительно какой угодно переменной 𝑥 имеет вид
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
-
𝑑𝑇
𝑑𝑥
+
𝑑𝐹
𝑑𝑥̇
=
ξ,
где ξ - соответствующая электродвижущая сила. Следовательно, мы имеем
𝐿₁𝑥̈
+
Γ(𝑥̈-𝑦̈)
+
𝑀₁γ̇
+
𝑅𝑥̇
+
𝐾(𝑥̇-𝑦̇)
=
0,
𝐿₂𝑦̈
+
Γ(𝑥̈-𝑦̈)
+
𝑀₂γ̇
+
𝑆𝑦̇
-
𝐾(𝑥̇-𝑦̇)
=
0.
Эти уравнения могут быть проинтегрированы сразу же по 𝑡. Замечая, что 𝑥, 𝑥̇, 𝑦, 𝑦̇, γ в начальный момент времени равнялись нулю, и полагая 𝑥-𝑦=𝑧, мы придадим (после исключения 𝑦) уравнению следующий вид:
𝐴𝑧̈
+
𝐵𝑧̇
+
𝐶𝑧
=
𝐷γ̇
+
𝐹γ
.
(8')
Через небольшой промежуток времени после присоединения батареи ток γ сделается стационарным, а ток 𝑧̇ затухнет. Поэтому 𝐶𝑧=𝐹γ.
