1
+
1
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑢²
-
3
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
(18)
или
𝑒𝑒'
𝑟²
⎡
⎢
⎣
1
+
1
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
-
1
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(19)
то мы сможем вывести из них и обычные электростатические силы, и силы, действующие между токами так, как они были определены Ампером.
851. Первое из этих выражений, (18), было открыто в июне 1835 г. Гауссом 1 он истолковал его как основной закон электрического действия, состоящий в том, что «два элемента электричества, находящиеся в состоянии относительного движения, притягивают или отталкивают друг друга, но не так, как если бы они находились в состоянии относительного покоя». Это открытие не было, насколько мне известно, опубликовано при жизни Гаусса, так что второе выражение, открытое независимо В. Вебером и опубликованное в первой части его знаменитого труда Elektrodynamische Maasbestimmungen 2, было первым такого рода результатом, сделавшимся известным научному миру.
1Werke, (Göttingen edition, 1867), vol. V, p. 616.
2Abh. Leibnizens Ges., Leipzig (1846), p. 316.
852. Эти два выражения приводят к одному и тому же результату, будучи применены к определению механической силы между двумя электрическими токами, и этот результат совпадает с результатом Ампера. Однако, когда мы рассматриваем их как выражения физического закона взаимодействия двух заряженных частиц, мы обязаны спросить себя, согласуются ли они с другими известными фактами природы.
Оба эти выражения включают в себя относительные скорости частиц. Далее, при математическом обосновании хорошо известного принципа сохранения энергии обычно предполагается, что сила, действующая между двумя частицами, является функцией только расстояния между ними; принято считать, что если эта сила окажется функцией ещё чего-нибудь, например времени или скорости частиц, то доказательство утрачивает смысл.
Поэтому иногда полагают, что закон электрического действия, содержащий скорость частиц, несовместим с принципом сохранения энергии.
853. Формула Гаусса не согласуется с этим принципом и поэтому должна быть отвергнута, так как она приводит к заключению, что энергию можно было бы неограниченно создавать в ограниченной системе с помощью физических средств. Это возражение неприменимо по отношению к формуле Вебера, ибо им было показано 3, что если принять в качестве потенциальной энергии системы, состоящей из двух электрических частиц, величину
ψ
=
𝑒𝑒'
𝑟
⎡
⎢
⎣
1
-
1
2𝑐²
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(20)
то отталкивание между частицами, которое находится путём дифференцирования этой величины по 𝑟 и смены знака, даётся формулой (19).
3Pogg. Ann., LXXIII, p. 229 (1848).
Таким образом, работа, совершаемая над движущейся частицей силой отталкивания со стороны неподвижной частицы, равна ψ₀-ψ₁, где ψ₀ и ψ₁ - значения ψ в начале и в конце пути частицы. Теперь ψ зависит только от расстояния 𝑟 и от проекции скорости на направление 𝑟. Поэтому, если частица описывает произвольный замкнутый путь, так что её положение, скорость и направление движения в конце и в начале пути одинаковы, то величина ψ₁ равна ψ₀ и в целом за цикл работа не совершается.
Следовательно, частица, совершающая периодическое движение под действием силы, принятой Вебером, не может производить неограниченное количество работы.
854. Однако Гельмгольц в своей очень сильной работе «Уравнения движения электричества в покоящихся проводниках» 4, показав, что формула Вебера не противоречит принципу сохранения энергии, пока речь идёт только о работе, совершаемой при полном цикле, указывает, что она ведёт к заключению, что две электризованные частицы, движущиеся в соответствии с законом Вебера, могут иметь вначале конечные скорости, а затем, всё ещё находясь на конечном расстоянии друг от друга, могут приобрести бесконечную кинетическую энергию и совершить бесконечное количество работы.
4Crelle's Journal, 72, p. 57-129 (1870).
На это Вебер отвечает 5, что начальные скорости частиц относительно друг друга в примере Гельмгольца, хотя и конечны, однако превышают скорость света, и что расстояние, на котором кинетическая энергия становится бесконечной, хотя и конечно, но меньше любой величины, какую мы можем различать, так что физически невозможно настолько сблизить две молекулы. Следовательно, этот пример не может быть проверен никаким экспериментальным методом.
5Elektr. Maasb. inbesondere über das Princip der Erhaltung der Energie.
Гельмгольц 6 поэтому отыскал такой случай, в котором расстояния не очень малы, а скорости не очень велики для экспериментального подтверждения. Неподвижная непроводящая сферическая поверхность радиуса 𝑎 однородно заряжена электричеством с поверхностной плотностью σ. Частица с массой 𝑚, несущая электрический заряд 𝑒, двигается внутри сферы со скоростью 𝑣. Электродинамический потенциал, вычисленный по формуле (20), равен
6Berlin Monatsbericht, April 1872, p. 247-256; Phil. Mag., Dec. 1872, Supp., p. 530-537.
4π𝑎σ𝑒
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑣²
6𝑐²
⎞
⎟
⎠
(21)
и не зависит от положения частицы внутри сферы. Добавляя сюда остальную потенциальную энергию 𝑉, обусловленную действием других сил, и величину то 𝑚𝑣/2, равную кинетической энергии частицы, в качестве уравнения энергии находим
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑚
-
4
3
π𝑎σ𝑒
𝑐²
⎞
⎟
⎠
𝑣²
+
4π𝑎σ𝑒
+
𝑉
=
const
.
(22)
Поскольку второй член в коэффициенте при 𝑣² можно неограниченно увеличивать путём увеличения радиуса сферы 𝑎, оставляя постоянной поверхностную плотность σ, коэффициент при 𝑣² можно сделать отрицательным. Ускорение движения частицы тогда соответствовало бы уменьшению её vis viva (живой силы) и тело, движущееся по замкнутому пути, под действием силы наподобие трения, всегда противоположной по направлению движения тела, непрерывно увеличивало бы свою скорость, причём неограниченно. Этот невозможный результат является необходимым следствием принятия любой формулы для потенциала, в которой вводятся отрицательные члены в коэффициент перед 𝑣².
