855. Теперь, однако, мы должны рассмотреть приложение веберовской теории к тем явлениям, которые могут быть осуществлены. Мы видели уже, как она даёт выражение Ампера для силы притяжения между двумя элементами электрических токов. Потенциал, создаваемый одним из этих элементов на другом элементе, находится путём суммирования значений потенциалов ψ для четырёх комбинаций положительных и отрицательных токов в этих двух элементах. Согласно уравнению (20), суммирование четырёх значений (𝑑𝑟/𝑑𝑡)² даёт
-
𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
1
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(23)
а потенциал одного замкнутого тока на другом равен
-
𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
∬
1
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
=
𝑖𝑖'
𝑀
,
(24)
где
𝑀
=
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
как в п. 423, 524. В случае замкнутых токов это выражение согласуется с выражением, полученным нами в п. 5247.
7 Во всём этом исследовании Вебер принял электродинамическую систему единиц. В настоящем трактате мы всюду используем электромагнитную систему. Электромагнитная единица тока относится к электродинамической единице как √2 к 1; п. 526.
Веберовская теория индукции электрических токов
856. После того как из формулы Ампера для взаимодействия между элементами токов Вебер вывел свою собственную формулу для взаимодействия между движущимися электрическими частицами, он перешёл к применению этой формулы для объяснения возникновения электрических токов при магнитоэлектрической индукции. В этом он достиг выдающегося успеха, и мы укажем метод, с помощью которого законы индуцированных токов могут быть выведены из формулы Вебера. Но мы должны заметить, что то обстоятельство, что закон, выведенный из открытого Ампером явления, также может объяснить явление, открытое впоследствии Фарадеем, не слишком много добавляет к доказательству физической истинности закона, как можно было бы предположить вначале.
Действительно, Гельмгольцем и Томсоном было показано (см. п. 543), что если явления Ампера истинны и если принять принцип сохранения энергии, то явления индукции, открытые Фарадеем, следуют с необходимостью. Далее, веберовский закон вместе с различными предположениями относительно природы электрических токов, которые он в себя включает, в результате математических преобразований приводит к формуле Ампера. Закон Вебера также совместим с принципом сохранения энергии, если существует потенциал, а это всё, что требуется для применимости принципа Гельмгольца и Томсона. Следовательно, мы можем утверждать, даже до того, как сделаны какие-то относящиеся к этому вычисления, что закон Вебера будет объяснять индукцию электрических токов. Таким образом, тот факт, что из вычислений найдено, что он объясняет индукцию электрических токов, не продвигает доказательства физической истинности закона.
С другой стороны, формула Гаусса, хотя она и объясняет явления притяжения токов, несовместима с принципом сохранения энергии и, следовательно, мы не можем утверждать, что она будет объяснять все явления индукции. В действительности так оно и есть, как мы увидим в п. 859.
857. Теперь мы должны рассмотреть электродвижущую силу, стремящуюся создать ток в элементе 𝑑𝑠', обусловленную током в элементе 𝑑𝑠, когда 𝑑𝑠 находится в движении и когда ток в нём переменный.
Согласно Веберу, действие на материал проводника, элементом которого является 𝑑𝑠', есть сумма всех действий на электричество, которое он переносит. С другой стороны, электродвижущая сила, действующая на электричество в 𝑑𝑠', является разностью электрических сил, действующих на положительное и отрицательное электричество в пределах этого элемента. Поскольку все эти силы действуют вдоль линии, соединяющей элементы, электродвижущая сила в 𝑑𝑠' также находится на этой линии, и, для того чтобы получить электродвижущую силу в направлении 𝑑𝑠', мы должны спроектировать силу на это направление. Чтобы применить формулу Вебера, мы должны вычислить различные входящие в неё члены в предположении, что элемент 𝑑𝑠 находится в движении относительно 𝑑𝑠' и что токи в обоих элементах меняются со временем. Найденные таким образом выражения будут содержать члены, включающие 𝑣², 𝑣𝑣', 𝑣'², 𝑣, 𝑣', и члены, не включающие 𝑣 или 𝑣', причём все они умножены на 𝑒𝑒'. Рассматривая, как мы делали раньше, четыре значения каждого члена и обращаясь вначале к механической силе, которая возникает из суммы четырёх значений, мы находим, что единственный член, который мы должны учитывать, это член, содержащий произведение 𝑣𝑣'𝑒𝑒'.
Если затем мы рассмотрим силу, стремящуюся произвести ток во втором элементе, возникающую вследствие разницы действия первого элемента на отрицательное и положительное электричество второго элемента, мы найдём, что единственный член, который нам следует рассмотреть, это член, содержащий 𝑣𝑒𝑒'. Мы можем записать четыре члена, входящие в ∑(𝑣𝑒𝑒'), таким способом:
𝑒'(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
и
𝑒'₁(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
.
Поскольку 𝑒'+𝑒'₁=0, механическая сила, обусловленная этими членами, равна нулю, но электродвижущая сила, действующая на положительное электричество 𝑒', равна (𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁), а сила, действующая на отрицательное электричество 𝑒'₁, равна и противоположна ей.
858. Предположим теперь, что первый элемент 𝑑𝑠 движется относительно 𝑑𝑠' со скоростью 𝑉 в некотором направлении, и обозначим через
╱╲
╱╲
𝑉𝑑𝑠
и
𝑉𝑑𝑠'
углы между направлением 𝑉 и направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' соответственно; тогда квадрат относительной скорости и двух электрических частиц равен
𝑢²
=
𝑣²
+
𝑣'²
+
𝑉
-
2𝑣𝑣'
cos ε
+
╱╲
╱╲
+
2𝑉𝑣
cos
𝑉𝑑𝑠
-
2𝑉𝑣'
cos
𝑉𝑑𝑠'
.
(25)
Член с 𝑣𝑣' - тот же самый, что и в уравнении (3). Член с 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен
╱╲
2𝑉𝑣
cos
𝑉𝑑𝑠
.
Мы также имеем в этом случае для значения временной производной от 𝑟
∂𝑟
∂𝑡
=
𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
𝑣'
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+
𝑑𝑟
𝑑𝑡
,
(26)
где ∂𝑟/∂𝑡 относится к движению электрических частиц, а 𝑑𝑟/𝑑𝑡 - к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий 𝑣𝑣', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен
2𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑡
.
Дифференцируя (26) по 𝑡, мы находим
∂²𝑟
∂𝑡²
=
𝑣²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠²
+
2𝑣𝑣'
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑠'
+
𝑣'²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠'²
+
