⎝
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
⎞²
⎟
⎠
,
(5)
∂²𝑟
∂𝑡²
=
𝑣²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠²
+
2𝑣𝑣'
𝑑²𝑟
𝑑𝑠 𝑑𝑠'
+
𝑣'²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠'²
,
(6)
где символ ∂ указывает на то, что координаты частицы в дифференциальных величинах должны быть выражены как функции времени.
Оказывается, таким образом, что в уравнениях (3), (5) и (6) члены, включающие произведение 𝑣𝑣', содержат величины, встречающиеся в (1) и (2), которые мы должны интерпретировать. Поэтому мы попытаемся выразить (1) и (2) через
𝑢²
,
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
и
∂²𝑟
∂𝑡²
.
Однако для того, чтобы проделать это, нам необходимо избавиться от первого и третьего членов каждого из этих выражений, поскольку они содержат величины, не фигурирующие в формуле Ампера. Следовательно, мы не в состоянии объяснить электрический ток как перенос электричества только в одном направлении, мы должны объединить два противоположных потока в каждом из токов так, чтобы объединённый эффект со стороны членов, содержащих 𝑣² и 𝑣'², мог быть равен нулю.
848. Для этого предположим, что в первом элементе 𝑑𝑠 мы имеем одну электрическую частицу 𝑒, движущуюся со скоростью 𝑣, и другую 𝑒₁ движущуюся со скоростью 𝑣₁, и аналогично в элементе 𝑑𝑠' две частицы 𝑒' и 𝑒'₁, движущиеся соответственно со скоростями 𝑣' и 𝑣'₁.
Член, содержащий 𝑣², при совместном действии этих частиц равен
∑
(𝑣²𝑒𝑒')
=
(𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁)
+
(𝑒'+𝑒'₁)
.
(7)
Аналогично
∑
(𝑣'²𝑒𝑒')
=
(𝑣'²𝑒'+𝑣'₁²𝑒'₁)
+
(𝑒+𝑒₁)
;
(8)
и
∑
(𝑣𝑣'𝑒𝑒')
=
(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
+
(𝑣'𝑒'+𝑣'₁𝑒'₁)
.
(9)
Для того чтобы сумма ∑(𝑣²𝑒𝑒') могла обратиться в нуль, мы должны иметь либо
𝑒'
+
𝑒'₁
=
0
, либо
𝑣²𝑒
+
𝑣₁²𝑒₁
=
0.
(10)
В соответствии с гипотезой Фехнера (Fechner) электрический ток состоит из тока положительного электричества в положительном направлении в сочетании с током отрицательного электричества в отрицательном направлении, причём оба тока точно равны друг другу по абсолютной величине как в отношении количества электричества, так и в отношении скорости перемещения. Таким образом, гипотеза Фехнера удовлетворяет обоим условиям (10).
Для нашей цели, однако, достаточно предположить, что:
либо в каждом элементе количество положительного электричества численно равно количеству отрицательного электричества,
либо количества электричества этих двух видов обратно пропорциональны квадратам их скоростей.
Далее, мы знаем, что, заряжая второй проводящий провод в целом, мы можем сделать 𝑒'+𝑒'₁ величиной положительной или отрицательной. Такой заряженный провод даже без тока, согласно этой формуле, оказывал бы действие на первый провод, несущий ток, в котором величина 𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁ принимала бы отличное от нуля значение. Но такое действие никогда не наблюдалось.
Поскольку величина 𝑒'+𝑒'₁, как это можно показать экспериментально, не всегда равна нулю, а величина 𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁ экспериментального определения не допускает, то лучше в наших рассуждениях предположить, что именно эта последняя величина неизменно обращается в нуль.
849. Какую бы гипотезу мы ни приняли, нет никаких сомнений в том, что полный перенос электричества вдоль первого контура, исчисляемый алгебраически, представляется формулой
𝑣𝑒
+
𝑣₁𝑒₁
=
𝑐𝑖𝑑𝑠
,
где 𝑐 - количество единиц статического электричества, передаваемого единичным электрическим током в единицу времени; таким образом, уравнение (9) мы можем записать в виде
∑
(𝑣𝑣'𝑒𝑒')
=
𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(11)
Следовательно, суммы четырёх значений величин, определяемых уравнениями (3), (5) и (6), станут такими:
∑
(𝑒𝑒'𝑢²)
=-
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
cos ε
,
(12)
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
=
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(13)
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
⎞
⎟
⎠
=
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
𝑟
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑠'
(14)
и мы можем записать выражения (1) и (2) для силы притяжения между 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' в виде
-
1
𝑐²
∑
⎡
⎢
⎣
𝑒𝑒'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
𝑢²
-
3
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(15)
-
1
𝑐²
∑
⎡
⎢
⎣
𝑒𝑒'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
-
1
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(16)
850. Обычное в теории статического электричества выражение для силы отталкивания между двумя электрическими частицами 𝑒 и 𝑒' есть 𝑒𝑒'/𝑟², и
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
𝑟²
⎞
⎟
⎠
=
(𝑒+𝑒₁)(𝑒'+𝑒'₁)
𝑟²
,
(17)
что и даёт электростатическое отталкивание между двумя элементами, если они в целом заряжены.
Следовательно, если допустить, что отталкивание двух частиц происходит согласно одному из двух модифицированных выражений
𝑒𝑒'
𝑟²
⎡
⎢
⎣
