2Crelle's Journal, vol. IV (1858), p. 25-55. Перевод Тэта. Phil. Mag., June, p. 485-151, 1867.
Правило Гельмгольца можно сформулировать следующим образом. Пусть 𝑃 и 𝑄 будут две соседние частицы на оси вихря, тогда, если вследствие движения жидкости эти частицы окажутся в точках 𝑃'𝑄', линия 𝑃'𝑄' будет представлять новое направление оси вихря, а его сила изменится в отношении 𝑄'𝑃' к 𝑃𝑄.
Следовательно, если α, β, γ обозначают составляющие силы вихря, а ξ, η, ζ - смещение среды, значения α, β и γ станут равными
α'
=
α
+
α
𝑑ξ
𝑑𝑥
+
β
𝑑ξ
𝑑𝑦
+
γ
𝑑ξ
𝑑𝑧
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
β'
=
β
+
α
𝑑η
𝑑𝑥
+
β
𝑑η
𝑑𝑦
+
γ
𝑑η
𝑑𝑧
,
γ'
=
γ
+
α
𝑑ζ
𝑑𝑥
+
β
𝑑ζ
𝑑𝑦
+
γ
𝑑ζ
𝑑𝑧
.
(1)
Теперь мы предположим, что то же самое условие выполнено при небольших смещениях среды, в которых α, β, γ представляют не составляющие силы обычного вихря, а составляющие магнитной силы.
824. Составляющие угловой скорости элемента среды равны
ω₁
=
1
2
𝑑
𝑑𝑡
⎛
⎜
⎝
𝑑ζ
𝑑𝑦
-
𝑑η
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
ω₂
=
1
2
𝑑
𝑑𝑡
⎛
⎜
⎝
𝑑ξ
𝑑𝑧
-
𝑑ζ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
,
ω₃
=
1
2
𝑑
𝑑𝑡
⎛
⎜
⎝
𝑑η
𝑑𝑥
-
𝑑ξ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Следующий шаг в нашей гипотезе состоит в предположении, что кинетическая энергия среды содержит член вида
2𝐶(
αω₁
+
βω₂
+
γω₃
).
(3)
Это эквивалентно предположению, что угловая скорость, приобретаемая элементом среды при распространении света, есть величина, которая может входить в комбинации с тем движением, которым объясняются магнитные явления.
Для того чтобы получить уравнения движения среды, мы должны выразить её кинетическую энергию через скорость её частей, составляющими которой являются ξ̇, η̇, ζ̇. Таким образом, мы интегрируем по частям и находим
2𝐶
∭
(αω₁+βω₂+γω₃)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝐶
∬
(γη̇+βζ̇)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
𝐶
∬
(αζ̇+γξ̇)
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
𝐶
∬
(βξ̇-αη̇)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
+
2𝐶
∭
⎧
⎨
⎩
ξ̇
⎛
⎜
⎝
𝑑γ
𝑑𝑦
-
𝑑β
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
η̇
⎛
⎜
⎝
𝑑α
𝑑𝑧
-
𝑑γ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
ζ̇
⎛
⎜
⎝
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(4)
Двойные интегралы относятся к ограничивающей поверхности, которую можно предполагать расположенной на бесконечном расстоянии. Поэтому мы можем при исследовании того, что имеет место внутри среды, ограничиться рассмотрением тройного интеграла.
825. Часть кинетической энергии в единице объёма, выражаемая этим тройным интегралом, может быть записана в виде
4π𝐶
(ξ̇𝑢+η̇𝑣+ζ̇𝑤)
,
(5)
где 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими электрического тока в том виде, как они даны в уравнениях (Е) п. 607.
Из этого следует, что наша гипотеза эквивалентна предположению о том, что скорость частицы среды с составляющими 𝑢̇, 𝑣̇, 𝑤̇ является величиной, которая может входить в комбинации с электрическим током, составляющие которого 𝑢, 𝑣, 𝑤.
826. Если вернуться к выражению под знаком тройного интеграла в (4), подставив вместо значений α, β, γ значения α', β', γ', данные уравнениями (1), и записать
𝑑
𝑑ℎ
вместо
α
𝑑
𝑑𝑥
+
β
𝑑
𝑑𝑦
+
γ
𝑑
𝑑𝑧
,
(6)
то выражение под знаком интеграла станет таким:
𝐶
⎧
⎨
⎩
ξ̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑ζ
𝑑𝑦
-
𝑑η
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
η̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑ξ
𝑑𝑧
-
𝑑ζ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
+
ζ̇
𝑑
𝑑ℎ
⎛
⎜
⎝
𝑑η
𝑑𝑥
-
𝑑ξ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
(7)
В случае волн в плоскости, нормальной к оси 𝑧, смещения являются функциями только 𝑧 и 𝑡, так что 𝑑/𝑑ℎ=γ 𝑑/𝑑𝑧, и это выражение сводится к следующему:
𝐶γ
⎛
⎜
⎝
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
-
𝑑²η
𝑑𝑧²
ξ̇
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Кинетическая энергия на единицу объёма постольку, поскольку она зависит от скоростей смещения, может теперь быть записана в виде
𝑇
=
1
2
ρ(ξ̇²+η̇²+ζ̇²)
+
𝐶γ
⎛
⎜
⎝
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
-
𝑑²η
𝑑𝑧²
ξ̇
⎞
⎟
⎠
,
(9)
где ρ - плотность среды.
827. Составляющие 𝑋 и 𝑌 приложенной силы, отнесённые к единице объёма, могут быть выведены отсюда при помощи уравнений Лагранжа, п. 564. Заметим, что, опуская двойные интегралы по ограничивающей поверхности и дважды интегрируя по частям по 𝑥, можно показать, что
