∭
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
η̇
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
∭
ξ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Следовательно,
𝑑𝑇
𝑑ξ
𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
.
Таким образом, выражения для сил следующие:
𝑋
=
ρ
𝑑²ξ
𝑑𝑡²
-
2𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
,
(10)
𝑌
=
ρ
𝑑²η
𝑑𝑡²
+
2𝐶γ
𝑑³η
𝑑𝑧²𝑑𝑡
.
(11)
Эти силы возникают вследствие действия всей остальной среды на рассматриваемый элемент; в случае изотропной среды они должны иметь форму, указанную Коши:
𝑋
=
𝐴₀
𝑑²ξ
𝑑𝑧²
+
𝐴₁
𝑑⁴ξ
𝑑𝑧⁴
+ и т.д.,
(12)
𝑌
=
𝐴₀
𝑑²η
𝑑𝑧²
+
𝐴₁
𝑑⁴η
𝑑𝑧⁴
+ и т.д.
.
(13)
828. Если мы теперь возьмём случай циркулярно поляризованного луча, для которого
ξ
=
𝑟 cos(𝑛𝑡-𝑞𝑡)
,
η
=
𝑟 sin(𝑛𝑡-𝑞𝑡)
,
(14)
мы найдём для кинетической энергии в единице объёма
𝑇
=
1
2
ρ
𝑟²
𝑛²
-
𝐶γ
𝑟²
𝑞²
𝑛
(15)
и для потенциальной энергии в единице объёма
𝑉
=
1
2
𝑟²
(
𝐴₀𝑞²
+
𝐴₁𝑞⁴
+…
)
=
1
2
𝑄
,
(16)
где 𝑄 является функцией 𝑞².
Условие свободного распространения луча, данное уравнением (6) в п. 819, следующее:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
,
(17)
что даёт
ρ𝑛²
-
2𝐶γ
𝑞²
𝑛
=
𝑄
,
(18)
откуда можно найти величину 𝑛 как функцию 𝑞.
Но в случае луча с заданным волновым периодом, на который действует магнитная сила, мы должны определить величину 𝑑𝑞/𝑑γ при постоянном 𝑛, выраженную через 𝑑𝑞/𝑑𝑛 при постоянном γ. Дифференцируем (18):
(
2ρ𝑛
-
2𝐶γ
𝑞²
)
𝑑𝑛
-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑄
𝑑𝑞
+
4𝐶γ
𝑞𝑛
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑞
-
2𝐶
𝑞²𝑛
𝑑γ
=
0.
(19)
Таким образом, находим
𝑑𝑞
𝑑γ
=-
𝐶𝑞²𝑛
ρ𝑛-𝐶γ𝑞²
𝑑𝑞
𝑑𝑛
.
(20)
829. Если λ - длина волны в воздухе, 𝑣 - скорость распространения в воздухе, а 𝑖 - соответствующий показатель преломления в среде, то
𝑞λ
=
2π𝑖
,
𝑛λ
=
2π𝑣
.
(21)
Изменение значения 𝑞, обусловленное магнитным действием, в каждом случае составляет чрезвычайно малую часть от его собственного значения, так что мы можем записать
𝑞
=
𝑞₀
+
𝑑𝑞
𝑑γ
γ
,
(22)
где 𝑞₀ - значение 𝑞 при равной нулю магнитной силе. Угол θ, на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении слоя среды толщиной 𝑐, равен полусумме положительного и отрицательного значений 𝑞𝑐, причём знак результата меняется, поскольку в уравнениях (14) знак 𝑞 отрицательный. Таким образом, мы получаем
θ
=-
𝑐γ
𝑑𝑞
𝑑γ
,
(23)
=
4π²𝐶
𝑐γ
𝑖²
⎛
⎜
⎝
𝑖-λ
𝑑𝑖
⎞
⎟
⎠
1
.
𝑣ρ
λ²
𝑑λ
1-2π𝐶γ
𝑖²
𝑣ρλ
(24)
Второй член в знаменателе этой дроби примерно равен углу поворота плоскости поляризации при прохождении через слой среды с толщиной, равной половине длины волны, делённой на π. Следовательно, во всех реальных случаях это величина, которой мы можем пренебречь по сравнению с единицей.
Записав
4π²𝐶
𝑣ρ
=
𝑚
,
(25)
мы можем назвать 𝑚 коэффициентом магнитного вращения среды, величина которого должна быть определена из наблюдения. Обнаружено, что он положителен для большинства диамагнитных и отрицателен для некоторых парамагнитных сред. Мы имеем, таким образом, в качестве конечного результата нашей теории
θ
=
𝑚𝑐γ
𝑖²
λ²
⎛
⎜
⎝
𝑖-λ
𝑑𝑖
𝑑λ
⎞
⎟
⎠
,
(26)
где θ - угол поворота плоскости поляризации, 𝑚 - константа, определяемая наблюдением среды, γ - интенсивность составляющей магнитной силы в направлении луча, 𝑐 - длина луча в пределах среды, λ - длина волны света в воздухе, 𝑖 - показатель преломления среды.
830. Единственная проверка, которой к настоящему времени подвергнута эта теория, состоит в сравнении значений θ для различных типов света, проходящих через одну и ту же среду и находящихся под действием одной и той же магнитной силы.
Это было проделано для значительного числа сред М. Вердье 3 (М. Verdet), который пришёл к следующим результатам.
(1) Магнитное вращение плоскостей поляризации лучей различного цвета примерно следует закону обратного квадрата длины волны.
(2). Точный закон явления всегда таков, что произведение вращения на квадрат длины волны возрастает от наименее преломляемого к наиболее преломляемому концу спектра.
(3). Вещества, для которых это возрастание наиболее заметно, обладают также наибольшей относительной дисперсией.
3 Recherches sur les propriétés optiques développées dans les corps transparents par l’action du magnetisme 4me partie. Comptes Rendus, t. LVI, p. 630, (6 April, 1863).
Он также нашёл, что в растворе винной кислоты, которая сама по себе производит вращение плоскости поляризации, магнитное вращение ни в коей мере не пропорционально естественному вращению.
В дополнении к этой же работе 4 Вердье дал результаты самых тщательных экспериментов с бисульфидом углерода и креозотом - двумя веществами, для которых отклонение от закона обратного квадрата длины волны весьма заметно. Он также сравнил эти результаты с числами, даваемыми тремя различными формулами:
