𝑊
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝐵
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(3)
Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.
Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.
Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:
𝑊
=
∬
(
𝐴𝑙
+
𝐵𝑚
+
𝐶𝑛
)
𝑉
𝑑𝑆
-
(4)
-
∭
𝑉
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт
𝑊
=
∬
𝑉σ
𝑑𝑆
+
∭
𝑉ρ
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(5)
Уравнение (3) можно переписать в виде
𝑊
=
-
∭
(
𝐴α
+
𝐵β
+
𝐶γ
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(6)
где α, β, и γ - составляющие внешней магнитной силы.
О магнитном моменте и оси магнита
390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие α, β, γ постоянны. Записав
∭
𝐴
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑙𝐾
,
∭
𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑚𝐾
,
∭
𝐶
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑛𝐾
(7)
и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину 𝑊 можно представить в виде
𝑊
=
-𝐾
(
𝑙α
+
𝑚β
+
𝑛γ
).
(8)
В этом выражении 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы оси магнита, 𝐾 - его магнитный момент. Если обозначить через ε угол между осью магнита и направлением магнитной силы ℌ то величину 𝑊 можно переписать так:
𝑊
=
-𝐾
ℌ
cos ε
.
(9)
Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут φ и наклонён на угол θ относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут δ и наклонение ζ, получим
α
=
ℌcos ζ cos δ,
β
=
ℌcos ζ sin δ,
γ
=
ℌ sin ζ;
(10)
𝑙
=
cos θ cos φ,
𝑚
=
cos θ sin φ,
𝑚
=
sin θ;
(11)
Откуда следует
𝑊
=
-𝐾
{
cos ζ
cos θ
cos (φ-δ)
+
sin ζ
sin θ
}.
(12)
Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол φ, равен
-
𝑑𝑊
𝑑φ
=
-𝐾ℌ
cos ζ
cos θ
sin (φ-δ)
.
(13)
О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам
391. Пусть 𝑉 - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (ξ,η,ζ), его значение в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧 равно
𝑉
=
{
(ξ-𝑥)²
+
(η-𝑦)²
+
(ζ-𝑧)²
}
-½
.
(1)
Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда
𝑉
=
𝑉
0
+
𝑉
1
+
𝑉
2
+ и т.д.
(2)
где
𝑉
0
=(1/𝑟)
,
(3)
𝑟 - расстояние до точки (ξ,η,ζ) от начала координат,
𝑉
1
=
ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧
𝑟³
,
(4)
𝑉
2
=
3(ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧)-(𝑥²+𝑦²+𝑧²)(ξ²+η²+ζ²)
2𝑟5
,
(5)
и т.д.
Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для 𝑊 в уравнении (3) п. 389 по 𝑥, 𝑦 и 𝑧, считая ξ, η, ζ и 𝑟 постоянными.
Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками 𝑉0, 𝑉1 и 𝑉2, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:
𝑙𝐾
=
∭
𝐴
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑚𝐾
=
∭
𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑚𝐾
=
∭
𝐶
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
;
(6)
𝐿
=
∭
𝐴𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑀
=
∭
𝐵𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑁
=
∭
𝐶𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
;
(7)
𝑃
=
∭
(𝐵𝑧+𝐶𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑄
=
∭
(𝐶𝑥+𝐴𝑧)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝑅
=
∭
(𝐴𝑦+𝐵𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(8)
Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (ξ,η,ζ), находим
𝑊
=
𝐾
𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ
𝑟³
+
ξ²(2𝐿-𝑀-𝑁)+η²(2𝑀-𝑁-𝐿)
𝑟5
+
+
3(𝑃ηζ+𝑄ζξ+𝑅ξη)
𝑟5
+ и т.д.
(9)
Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (ξ,η,ζ).
О центре магнита и о главной и побочных осях магнита
392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось 𝑥 параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что
