(3). Если
λ
1
=1
и
λ
2
=0
, то
μ
12
=1
.
(15)
Сила 3𝑚1𝑚2/𝑟4 будет действовать на второй магнит в направлении его оси, а пара сил с моментом 2𝑚1𝑚2/𝑟3 будет стремиться развернуть его параллельно первому магниту. Это эквивалентно действию одной силы 3𝑚1𝑚2/𝑟4, параллельной оси второго магнита и пересекающей радиус-вектор 𝑟 в точке, отстоящей от 𝑚2 на расстоянии двух третей его длины.
Рис. 1
На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит 𝑚2 расположен на оси магнита 𝑚1, а его собственная ось перпендикулярна оси 𝑚1, две точки 𝐴 и 𝐵, жёстко связанные соответственно с 𝑚1 и 𝑚2, соединены между собой нитью 𝑇. Система будет находиться в равновесии, если 𝑇 пересечёт линию 𝑚1𝑚2 под прямым углом в точке, отстоящей от 𝑚1 на одну треть расстояния между 𝑚1 и 𝑚2.
(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия 𝑊 окажется минимальной по ℎ2 и, следовательно, созданная магнитом 𝑚2 составляющая силы в направлении ℎ1 будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].
Рис. 2
Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.
Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,
ℎ
1
ℎ
2
=
(ℎ
1
𝑟)
+
(ℎ
2
𝑟)
,
(16)
и момент пары сил, равный
𝑚1𝑚2
𝑟3
(
sin(ℎ
1
ℎ
2
)
-
3cos(ℎ
1
𝑟)
sin(𝑟ℎ
2
)
),
(17)
обращается в нуль, как мы видим, при условии
tg(ℎ
1
𝑟)
=
2tg(𝑟ℎ
2
)
,
(18)
или
tg 𝐻
1
𝑚
2
𝑅
=
2tg 𝑅𝑚
2
𝐻
1
.
(19)
Когда второй магнит занимает это положение, значение 𝑊 становится равным 𝑚2(𝑑𝑉1/𝑑ℎ2), где ℎ2 - направление силовой линии в точке 𝑚2, определяемое действием магнита 𝑚1. Следовательно,
𝑊
=
-𝑚
2
⎛
⎜
⎝
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
⎫²
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
⎫²
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
⎫²
⎪
⎭
⎞½
⎟
⎠
,
(20)
т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.
Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу 𝑅, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу 𝐻1, параллельную оси первого магнита:
𝑅
=
3
𝑚
1
𝑚
2
4λ
1
²+1
, 𝐻
=
3
𝑚
1
𝑚
2
λ
1
.
𝑟
4
√
3λ
1
²+1
𝑟
4
√
3λ
1
²+1
(21)
На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности - стрелками.
Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.
Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит - вниз.
О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле
389. Пусть 𝑉 - магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.
Если маленький магнит длиной 𝑑𝑠 расположен так, что его положительный полюс величины 𝑚 находится в точке с потенциалом 𝑉, а отрицательный - в точке с потенциалом 𝑉', то потенциальная энергия этого магнита будет равна 𝑚(𝑉-𝑉') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,
𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑠
𝑑𝑠
.
(1)
Если 𝐼 - величина намагниченности, λ, μ, ν - её направляющие косинусы, то можно написать
𝑚
𝑑𝑠
=
𝐼
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
и
𝑑𝑉
𝑑𝑠
=
λ
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
μ
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
ν
𝑑𝑉
𝑑𝑧
,
и, наконец, если 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности, то 𝐴=λ𝐼, 𝐵=μ𝐼, 𝐶=ν𝐼, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝐵
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(2)
Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим
