𝑉
1
=-
𝑑
𝑚
1
=
𝑚
1
λ
1
,
𝑑ℎ
1
𝑟
𝑟²
(2)
где λ1 - косинус угла между ℎ1 и 𝑟.
Если имеется вторая магнитная молекула с моментом 𝑚2 и осью, параллельной ℎ2, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор 𝑟, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна
𝑊
=
𝑚
2
𝑑𝑉
𝑑ℎ2
=-
𝑚
1
𝑚
2
𝑑²
𝑑ℎ1𝑑ℎ2
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(3)
=
𝑚1𝑚2
𝑟³
(μ
12
-3λ
1
λ
2
)
,
(4)
где μ12 - косинус угла между осями, а λ1 и λ2 косинусы углов между радиус-вектором и осями.
Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.
Предположим, что второй магнит повернулся на угол 𝑑φ в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси ℎ3; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (𝑑𝑊/𝑑φ)𝑑φ, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,
-
𝑑𝑊
𝑑φ
=-
𝑚1𝑚2
𝑟³
⎛
⎜
⎝
𝑑μ12
𝑑φ
-
3λ
1
𝑑λ2
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Истинный момент, действующий на второй магнит, можно, следовательно, рассматривать как результирующую двух пар сил: первая действует в плоскости, параллельной осям обоих магнитов, и стремится увеличить угол между ними; её момент равен
𝑚1𝑚2
𝑟³
sin(ℎ
1
ℎ
2
)
,
(6)
в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через 𝑟 и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент
3𝑚1𝑚2
𝑟³
cos(𝑟ℎ
1
)
sin(𝑟ℎ
2
)
,
(7)
где через (𝑟ℎ1), (𝑟ℎ2), (ℎ1ℎ2) обозначены углы между линиями 𝑟, ℎ1, ℎ2.
Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии ℎ3, необходимо вычислить
-
𝑑𝑉
𝑑ℎ3
=
𝑚
1
𝑚
2
𝑑³
𝑑ℎ1𝑑ℎ2𝑑ℎ3
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(8)
=
-𝑚
1
𝑚
2
3!𝑌3
𝑟4
(по п. 129в),
=
3
𝑚1𝑚2
𝑟4
{
λ
1
μ
23
+
λ
2
μ
31
+
λ
3
μ
12
+
λ
1
λ
2
λ
3
}
(9)
(по п. 133),
=
3λ
3
𝑚1𝑚2
𝑟4
(μ
12
-5λ
1
λ
2
)
+
3μ
13
𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
2
+
(10)
+
3μ
23
𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
1
.
Предположим, что истинная сила состоит из трёх сил - 𝑅, 𝐻1 и 𝐻2, действующих соответственно в направлениях 𝑟, ℎ1 и ℎ2, тогда сила в направлении ℎ3 будет равна
λ
3
𝑅
+
μ
13
𝐻
1
+
μ
23
𝐻
2
.
(11)
Поскольку направление ℎ3 произвольно, мы должны иметь
𝑅
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
(μ
12
-5λ
1
λ
2
)
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝐻
1
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
2
,
𝐻
2
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
1
.
(12)
Сила 𝑅 является отталкивающей - она стремится увеличить 𝑟; силы 𝐻1 и 𝐻2 действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.
Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).
Частные случаи расположения магнитов
388. (1). Если λ1 и λ2 одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то μ12=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна
𝑅
+
𝐻
1
+
𝐻
2
=-
6𝑚1𝑚2
𝑟4
(13)
Отрицательный знак указывает на притяжение.
(2). Если λ1 и λ1 равны нулю, а μ12 - единице, т.е. оси магнитов параллельны друг другу и перпендикулярны 𝑟, то сила окажется отталкивающей и равной
3𝑚1𝑚2
𝑟4
(14)
ни в одном из этих случаев не возникает никаких вращающих моментов.
