𝑙
=
1,
𝑚
=
0,
𝑛
=
0.
(10)
Если перенести начало координат в точку (𝑥',𝑦',𝑧'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы 𝑙𝐾, 𝑚𝐾 и 𝑛𝐾 останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:
𝐿'
=
𝐿
-
𝑙𝐾𝑥'
,
𝑀'
=
𝑀
-
𝑚𝐾𝑦'
,
𝑁'
=
𝑁
-
𝑛𝐾𝑧'
(11)
𝑃'
=
𝑃
-
𝐾(𝑚𝑧'+𝑛𝑦')
,
𝑄'
=
𝑄
-
𝐾(𝑛𝑥'+𝑙𝑧')
,
𝑅'
=
𝑅
-
𝐾(𝑙𝑦'+𝑚𝑥')
.
(12)
Если сделать направление оси 𝑥 параллельным оси магнита и положить
𝑥'
=
2𝐿-𝑀-𝑁
2𝐾
,
𝑦'
=
𝑅
𝐾
,
𝑧'
=
𝑄
𝐾
,
(13)
то для новых осей значения 𝑀 и 𝑁 останутся прежними, а значение 𝐿' окажется равным (𝑀+𝑁)/2; не изменится также и величина 𝑃, в то время как 𝑄 и 𝑅 обратятся в нуль. Следовательно, мы можем для потенциала записать
𝐾
ξ
𝑟³
+
3/2⋅(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)+3𝑃ηζ
𝑟5
+ ….
(14)
Мы нашли, следовательно, фиксированную относительно магнита точку, такую, что если её выбрать в качестве начала координат, второй член в разложении потенциала выразится в наиболее простой форме; поэтому эту точку можно определить как центр магнита, а проведённую через неё ось в направлении, ранее названном направлением магнитной оси, определить как главную ось магнита.
Мы можем упростить результат ещё больше, повернув оси 𝑦 и 𝑧 вокруг оси 𝑥 на половину угла, тангенс которого равен 𝑃/(𝑀-𝑁). Тогда 𝑃 станет равным нулю, и окончательное выражение для потенциала примет вид
𝐾
ξ
𝑟³
+
3
2
(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)
𝑟5
+ и т.д.
(15)
Это есть простейшая форма представления первых двух членов потенциала магнита. Оси 𝑦 и 𝑧, направленные таким образом, могут быть названы побочными осями магнита.
Центр магнита мы можем определить и иначе, отыскав такое положение начала координат, при котором поверхностный интеграл от квадрата второго члена в разложении потенциала, взятый по сфере единичного радиуса, минимален.
Величина, которую следует сделать минимальной, согласно п. 141 равна
4(𝐿²+𝑀²+𝑁²-𝑀𝑁-𝑁𝐿-𝐿𝑀)
+
3(𝑃²+𝑄²+𝑅²)
.
(16)
Изменения значений этой величины, вызванные изменением положения начала координат, можно вывести из уравнений (11) и (12). Условия минимума следующие:
2𝑙(2𝐿-𝑀-𝑁)
+
3𝑛𝑄
+
3𝑚𝑅
=
0,
2𝑚(2𝑀-𝑁-𝐿)
+
3𝑙𝑅
+
3𝑛𝑃
=
0,
2𝑛(2𝑁-𝐿-𝑀)
+
3𝑚𝑃
+
3𝑙𝑄
=
0.
(17)
Если положить 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0, то эти условия станут такими:
2𝐿-𝑀-𝑁
=
0,
𝑄
=
0,
𝑅
=
0,
(18)
т.е. они совпадут с условиями, использованными в предыдущем рассмотрении.
Это исследование можно сравнить с тем, которое проводится при разложении потенциала системы, состоящей из гравитирующей материи. Там наиболее удобной точкой при выборе начала координат является центр тяжести системы, а наиболее удобными осями - проходящие через эту точку главные оси инерции.
В случае магнита точка, соответствующая центру тяжести, бесконечно удалена в направлении оси, и то, что мы назвали центром магнита, по своим свойствам отличается от центра тяжести. Величины 𝐿, 𝑀, 𝑁 соответствуют моментам инерции, а 𝑃, 𝑄, 𝑅 - произведениям инерции материального тела с той разницей, что 𝐿, 𝑀, 𝑁 не должны быть обязательно положительными.
Когда центр магнита взят в качестве начала координат, то сферическая гармоника второго порядка становится секторной,а её ось совпадает с осью магнита; ни для какой другой точки это не справедливо.
Когда магнит, как в случае тела вращения, симметричен по всем направлениям относительно этой оси, что член, содержащий гармонику второго порядка, полностью исчезает.
393. Во всех частях земной поверхности, кроме некоторых участков Полярных областей, один конец магнита показывает на север, или, по крайней мере, в северном направлении, а другой - в южном. Следуя распространённому способу образования наименований, мы, говоря о концах магнита, будем называть конец, указывающий на север, его северным концом. Если, однако, прибегать к языку теории магнитных жидкостей, мы должны использовать слова Борейный и Аустральный (boreal - северный, austral - южный). Борейный магнетизм - это воображаемый вид материи, который предполагается более распространённым в северных частях Земли, а Аустральный магнетизм - воображаемая магнитная материя, преобладающая в южных областях Земли. Магнетизм северного конца магнита является Аустральным, а магнетизм южного конца - Борейным. Следовательно, когда мы говорим о северном и южном концах магнита, мы не сравниваем его с Землёй, как с большим магнитом, а просто обозначаем направление, которое он стремится принять при своём свободном движении. С другой стороны, когда мы хотим сравнить распределение воображаемой магнитной жидкости в магните с распределением в Земле, мы будем применять эти более величественные слова - Борейный и Аустральный магнетизм.
394. Говоря о поле магнитной силы, мы будем использовать выражение Магнитный Север для обозначения направления, в котором указывает северный конец стрелки компаса, помещённого в поле силы.
Говоря о линии магнитной силы, мы всегда будем считать её проведённой от магнитного юга к магнитному северу и называть это направление положительным. Аналогично направление намагниченности магнита обозначается линией, проведённой от южного конца магнита к северному, а конец магнита, указывающий на север, называется положительным.
Мы будем считать Аустральный магнетизм, т.е. магнетизм конца магнита, указывающего на север, положительным. Обозначив его численное значение через 𝑚, для магнитного потенциала будем иметь 𝑉=∑(𝑚𝑟), и положительным является такое направление силовой линии, в котором 𝑉 убывает.
ГЛАВА II
МАГНИТНАЯ СИЛА И МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
395. Магнитный потенциал данной точки, обусловленный магнитом с заданной всюду внутри его вещества намагниченностью, был уже определён нами в п. 385. Мы показали, что математически этот результат может быть выражен как через истинную намагниченность каждого из элементов магнита, так и через некоторое воображаемое распределение «магнитной материи», часть которой рассеяна по веществу внутри магнита, а часть сосредоточена на его поверхности.
Определённый таким образом магнитный потенциал вычисляется с помощью одной и той же математической процедуры для точек, заданных внутри магнита и вне его. Сила, испытываемая единичным магнитным полюсом, помещённым в произвольную точку вне магнита, получается из потенциала аналогичным дифференцированием, что и в соответствующей электрической задаче. Если составляющие этой силы равны α, β, γ, то
