𝑉
=
1
3
𝑁𝑥³
-
𝑉₀
,
(8)
где 𝑉₀ есть объём внутренней области, оставленной для магнита.
Рассмотрим теперь слой катушки, содержащийся между поверхностями 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.
Объём этого слоя равен
𝑑𝑉
=
𝑁𝑥²
𝑑𝑥
=
𝑌²
𝑑𝑙
,
(9)
где 𝑑𝑙 - длина провода в этом слое.
Это даёт нам выражение 𝑑𝑙 через 𝑑𝑥. Подставляя его в уравнения (3) и (4), находим
𝑑𝐺
=
𝑁
𝑑𝑥
𝑌²
,
(10)
𝑑𝑅
=
𝑁
ρ
π
𝑥²𝑑𝑥
𝑌²𝑦²
,
(11)
где 𝑑𝐺 и 𝑑𝑅 представляют собой части величин 𝐺 и 𝑅, относящиеся к данному слою катушки.
Далее, если 𝐸 - заданная электродвижущая сила, то 𝐸=γ(𝑅+𝑟), где 𝑟 есть сопротивление внешней части контура, не зависящее от гальванометра; сила γ𝐺 в центре равна: γ𝐺=𝐸𝐺/(𝑅+𝑟).
Мы должны, таким образом, путём надлежащего подбора сечения провода в каждом из слоёв сделать величину 𝐺/(𝑅+𝑟) максимальной. А это с неизбежностью приводит к изменениям 𝑌, поскольку 𝑌 зависит от 𝑦.
Обозначим через 𝐺₀ и 𝑅₀ значения 𝐺 и 𝑅+𝑟 для того случая, когда данный слой исключён из вычислений. Тогда имеем
𝐺
𝑅+𝑟
=
𝐺₀+𝑑𝐺
𝑅₀+𝑑𝑅
,
(12)
и, для того чтобы путём вариации относящегося к этому слою значения 𝑦 сделать данное выражение максимальным, мы должны иметь
𝑑
⋅𝑑𝐺
𝑑𝑦
=
𝐺₀+𝑑𝐺
=
𝐺
.
𝑑
⋅𝑑𝑅
𝑅₀+𝑑𝑅
𝑅+𝑟
𝑑𝑦
(13)
Так как 𝑑𝑥 есть величина малая и в пределе исчезающая, то отношение 𝐺₀/𝑅₀ будет приближённо (а в пределе точно) одним и тем же независимо от того, какой слой исключён; следовательно, мы можем считать это отношение постоянным. Тогда, согласно (10) и (11), мы имеем
ρ
π
𝑥²
𝑦²
⎛
⎜
⎝
1+
𝑌
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑌
⎞
⎟
⎠
=
𝑅+𝑟
𝐺
=
constant.
(14)
Если способ покрытия провода изолирующим слоем, а также способ его намотки таковы, что независимо от того, является провод толстым или тонким, между областью, заполненной металлом, и пространством между проводами соблюдается одна и та же пропорция, то
𝑌
𝑦
⋅
𝑑𝑦
𝑑𝑌
=
1,
и мы должны взять как 𝑦, так и 𝑌 пропорциональными 𝑥; иначе говоря, диаметр провода в любом слое должен быть пропорционален линейному размеру этого слоя.
Если же толщина изолирующего покрытия постоянна и равна 𝑏, а провода расположены в квадратном порядке, то
𝑌
=
2(𝑦+𝑏)
(15)
и рассматриваемое условие записывается так:
𝑥²(2𝑦+𝑦)
𝑦³
=
constant.
(16)
В этом случае диаметр провода возрастает с увеличением диаметра слоя, частью которого он является, но не в такой большой степени.
Если принять первую из этих двух гипотез, приблизительно верную в случае, когда собственно провод почти полностью заполняет всю область, то можно положить 𝑦=α𝑥, 𝑌=β𝑦, где α и β - постоянные численные величины, тогда
𝐺
=
𝑁
1
α²β²
⎛
⎜
⎝
1
𝑎
-
1
𝑥
⎞
⎟
⎠
,
𝑅
=
𝑁
ρ
π
1
α⁴β²
⎛
⎜
⎝
1
𝑎
-
1
𝑥
⎞
⎟
⎠
,
где постоянная 𝑎 зависит от размера и формы пустого пространства, оставшегося внутри катушки.
Следовательно, если толщину провода менять пропорционально 𝑥, мы будем получать очень небольшой выигрыш от увеличения внешнего размера катушки после того, как её внешние размеры значительно превысят внутренние.
720. Если не считать недостатком увеличение сопротивления (как в случае, когда внешнее сопротивление значительно превышает внутреннее сопротивление гальванометра или когда нашей единственной задачей является получение поля значительной силы), мы можем сделать величины 𝑦 и 𝑌 постоянными. Тогда мы имеем
𝐺
=
𝑁
𝑌²
(𝑥-𝑎)
,
𝑅
=
1
3
𝑁
𝑌²𝑦²
ρ
π
(𝑥³-𝑎³)
,
где 𝑎 - постоянная, определяемая незаполненной областью внутри катушки. В этом случае величина 𝐺 монотонно растёт с увеличением размеров катушки, и на величину 𝐺 нет никаких ограничений, за исключением тех, которые связаны с затратами труда и со стоимостью изготовления катушки.
О подвешенных катушках
721. В обычных гальванометрах неподвижная катушка воздействует на подвешенный магнит. Однако если достаточно аккуратно подвесить катушку, то мы можем определять действие магнита или другой катушки на подвешенную катушку по её отклонению от положения равновесия.
Мы не можем, однако, ввести в катушку электрический ток, если нет металлического соединения между клеммами батареи и концами провода катушки. Такое соединение можно осуществить двумя различными способами - при помощи бифилярного подвеса и с помощью двух противоположно направленных проводов.
Бифилярный подвес уже был описан в п. 459 применительно к магнитам. На рис. 54 показано устройство верхней части этого подвеса. В случае катушек обе нити уже не шёлковые, а металлические, и поскольку кручение металлического провода, который в состоянии удерживать катушку и пропускать электрический ток, существенно превышает кручение шёлковой нити, то это следует специально учитывать. В приборах, сконструированных Вебером, этот подвес был доведён до большой степени совершенства.
При другом способе подвешивание осуществляется при помощи одного провода, который присоединяется к одному из концов катушки. Второй конец катушки присоединяется к другому проводу, который вдоль той же вертикальной линии, что и первый провод, опущен вниз в чашку со ртутью, как показано на рис. 56 п. 726. В некоторых случаях удобно прикреплять концы двух проводов к каким-либо предметам, с помощью которых провода можно туго натягивать, следя, однако, чтобы при этом линия проводов проходила через центр тяжести катушки. Устройство такого типа можно использовать, когда ось не направлена вертикально, см. рис. 52.
Рис. 52
722. Подвешенную катушку можно использовать в качестве очень чувствительного гальванометра, так как, увеличивая интенсивность магнитной силы, в поле которой она подвешена, можно значительно увеличить силу, вызываемую протекающим по катушке слабым током, без добавочного увеличения массы катушки. Магнитная сила для этой цели может быть создана с помощью постоянных магнитов или электромагнитов, возбуждаемых дополнительным током; применяя арматуру из мягкого железа, можно сильно сконцентрировать поле вблизи подвешенной катушки. Так, в записывающей аппаратуре сэра У. Томсона, рис. 52, катушка подвешивается между противоположными полюсами электромагнитов 𝑁 и 𝑆, а чтобы сконцентрировать линии магнитной силы на вертикальных сторонах катушки, между полюсами магнитов закрепляется кусок мягкого железа 𝐷. Железо, намагничиваясь через индукцию, создаёт в промежутке между ним и двумя магнитами очень мощное поле силы, в котором вертикальные стороны могут свободно перемещаться, так что катушка, даже когда через неё течёт очень слабый ток, находится под действием значительной силы, стремящейся повернуть её вокруг вертикальной оси.
