Исключая из цепи тока среднюю катушку и пропуская ток через две боковые катушки в противоположных направлениях, мы получаем поле силы, которое в направлении оси обладает почти однородным действием на магнит или катушку, подвешенные в нём так, что их ось совпадает с осью катушек, см. п. 673. Действительно, в этом случае все коэффициенты нечётных порядков исчезают, а в силу равенства μ=√3/7 мы имеем 𝑃₄'=(5/2)μ(7μ²-3)=0.
Следовательно, выражение (6) п. 695 для магнитного потенциала вблизи центра катушки принимает вид
ω
=
8
7
√3
√7
π𝑛
⎧
⎨
⎩
-3
𝑟²
𝐶²
𝑃₂(θ)
+
11
7
𝑟⁶
𝐶⁶
𝑃₆(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
где 𝑛 - число витков в каждой из катушек.
О необходимой толщине провода гальванометра при заданном внешнем сопротивлении
716. Пусть форма каркаса, внутри которого наматывается катушка гальванометра, задана и требуется определить, должен ли он быть заполнен длинным тонким или коротким толстым проводом.
Пусть 𝑙 - длина провода, 𝑦 - его радиус, 𝑦+𝑏 - радиус провода с покрытием, ρ - удельное сопротивление, 𝑔 - значение 𝐺 для единицы длины провода, а 𝑟 - та часть сопротивления, которая не зависит от гальванометра.
Сопротивление провода гальванометра равно
𝑅
=
ρ
π
𝑙
𝑦²
.
Объём катушки равен 𝑉=π𝑙(𝑦+𝑏)².
Электромагнитная сила равна γ𝐺, где γ - сила тока, а 𝐺=𝑔𝑙.
Если 𝐸 является электродвижущей силой, действующей в контуре с сопротивлением 𝑅+𝑟, то 𝐸=γ(𝑅+𝑟).
Электромагнитная сила, обусловленная этой электродвижущей силой, равна 𝐸𝐺/(𝑅+𝑟), её мы и должны сделать максимальной, меняя величины 𝑦 и 𝑙.
Перевёртывая эту дробь, мы получаем выражение
ρ
π𝑔
1
𝑦²
+
𝑟
𝑔𝑙
,
которое следует сделать минимальным. Следовательно,
2
ρ
π
𝑑𝑦
𝑦³
+
𝑟 𝑑𝑙
𝑙²
=
0.
Если объём катушки остаётся постоянным, то
𝑑𝑙
𝑙
+2
𝑑𝑦
𝑦+𝑏
=
0.
Исключая 𝑑𝑙 и 𝑑𝑦, получаем
ρ
π
𝑦+𝑏
𝑦³
=
𝑟
𝑙
,
или
𝑟
𝑅
=
𝑦+𝑏
𝑦
.
Таким образом, толщина провода в гальванометре должна быть такой, чтобы внешнее сопротивление относилось к сопротивлению катушки гальванометра как диаметр провода вместе с изоляцией к диаметру собственно провода.
О чувствительных гальванометрах
717. При конструировании чувствительного гальванометра назначение каждой из его частей состоит в обеспечении максимально возможного отклонения магнита посредством малой заданной электродвижущей силы, приложенной между клеммами катушки.
Протекающий по проводу ток производит наибольшее действие тогда, когда он находится на возможно более близком расстоянии от подвешенного магнита. Магнит, однако, должен свободно колебаться, и поэтому какое-то пространство внутри катушки необходимо оставить пустым. Это определяет границу катушки изнутри.
Вне этой области каждый виток должен располагаться так, чтобы производить максимально возможное воздействие на магнит. По мере увеличения числа витков заполняются наиболее выгодные места, так что в конце концов сопротивление нового витка более уменьшает действие тока предыдущих витков, нежели сам новый виток добавляет к нему. Изготавливая внешние витки из более толстого провода, чем внутренние, мы получаем наибольший магнитный эффект при заданной электродвижущей силе.
718. Будем предполагать, что витки в гальванометре представляют собой окружности, а ось гальванометра проходит через центры этих окружностей под прямым углом к их плоскостям.
Пусть 𝑟 sin θ будет радиусом одной из этих окружностей, а 𝑟 cos θ - расстоянием между её центром и центром гальванометра; тогда, если 𝑙 есть длина участка провода, совпадающего с данной окружностью, а γ - текущий по нему ток, то магнитная сила в центре гальванометра, спроектированная на направление его оси, равна γ𝑙𝑟-2 sin θ.
Если записать
𝑟²
=
𝑥²
sin θ
,
(1)
то это выражение примет вид γ𝑙/𝑥².
Рис. 51
Следовательно, если сделать поверхность, подобную одной из тех, сечения которых представлены на рис. 51 (их уравнение в полярных координатах имеет вид
𝑟²
=
𝑥₁²
sin θ
,
(2)
где 𝑥₁ - произвольная постоянная), то провод заданной длины, изогнутый в виде дуги окружности, будет производить большее магнитное действие, когда он лежит внутри этой поверхности, чем когда он находится вне её. Отсюда следует, что внешняя поверхность любого слоя провода должна иметь постоянное значение 𝑥, так как, если 𝑥 в одном месте больше, чем в другом, то можно часть провода переместить из первого места во второе и тем самым увеличить силу в центре гальванометра.
Полная сила, создаваемая катушкой, равна γ𝐺, где
𝐺
=
∫
𝑑𝑙
𝑥
,
(3)
интегрирование распространяется на всю длину провода, а 𝑥 считается функцией 𝑙.
719. Пусть 𝑦 - радиус провода, тогда площадь его поперечного сечения равна π𝑦². Пусть ρ - удельное сопротивление (отнесённое к единице объёма) материала, из которого изготовлена проволока, тогда сопротивление провода длины 𝑙 равно 𝑙ρ/(π𝑦²), а полное сопротивление катушки
𝑅
=
ρ
π
∫
𝑑𝑙
𝑦²
,
(4)
где 𝑦 рассматривается как функция 𝑙.
Пусть 𝑌² - площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с сечениями осей четырёх ближайших проводов катушки, тогда 𝑌²𝑙 есть объём, занимаемый в катушке проводом длины 𝑙 вместе с его изолирующим покрытием и той незаполненной частью пространства, которая с необходимостью остаётся между витками катушки. Следовательно, общий объём катушки равен
𝑉
=
𝑌²
𝑑𝑙
,
(5)
где 𝑌 рассматривается как функция 𝑙.
Но поскольку катушка представляет собой фигуру вращения, то
𝑉
=
2π
∬
𝑟²
sin θ
𝑑𝑟
𝑑θ
,
(6)
или, если выразить при помощи уравнения (1) 𝑟 через 𝑥
𝑉
=
2π
∬
𝑥²
(sin θ)
5/2
𝑑𝑥
𝑑θ
.
(7)
Далее интеграл
2π
π
∫
0
(sin θ)
5/2
𝑑θ
является численной величиной; обозначим её через 𝑁, тогда
