⎛
⎜
⎝
1+
3
2
𝑥²+𝑦²-2𝑧²
𝐴²
⎞
⎟
⎠
.
Для катушки большого радиуса при тщательно проведённой установке магнита мы можем считать эти поправки неощутимыми.
Прибор Гогейна (Gaugain)
712. Чтобы избавиться от поправок, связанных с величиной 𝐺₃, Гогейн сконструировал такой гальванометр, для которого этот член уменьшается до нуля; это достигается путём подвешивания магнита не в центре катушки, а в точке её оси, отстоящей от центра на половину радиуса катушки. Формула для 𝐺₃ такова:
𝐺₃
=
4π
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
и поскольку для этой конструкции 𝐵=𝐴/2, то 𝐺₃=0.
Эта конструкция могла бы считаться улучшенной по сравнению с предыдущей, если бы мы были уверены в том, что центр подвешенного магнита находится точно в найденной таким образом точке. Однако положение центра магнита всегда обладает некоторой неопределённостью, и эта неопределённость вводит корректирующий множитель неизвестной величины, зависящий от 𝐺₂ вида
⎛
⎜
⎝
1-
6
5
𝑧
𝐴
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑧 - неизвестное превышение расстояния центра магнита от плоскости катушки. Эта поправка зависит от первой степени 𝑧/𝐴. Таким образом, катушка Гогейна с эксцентрически подвешенным магнитом подвержена, гораздо большим неточностям, чем прежняя конструкция.
Прибор Гельмгольца
713. Гельмгольц преобразовал гальванометр Гогейна в более надёжный прибор, поместив на том же расстоянии по другую сторону от магнита вторую катушку, одинаковую с первой.
Размещая эти катушки симметрично по обе стороны от магнита, мы сразу же избавляемся от всех членов чётного порядка.
Пусть 𝐴 - средний радиус любой из катушек; расстояние между их средними плоскостями также берётся равным 𝐴. Магнит подвешивается в средней точке их общей оси. Коэффициенты равны:
𝐺₁
=
16π𝑛
5√5
1
𝐴
⎛
⎜
⎝
1-
1
60
ξ²
𝐴²
⎞
⎟
⎠
,
𝐺₂
=
0,
𝐺₃
=
π𝑛
3√5𝐴⁵
(31ξ²-36η²)
,
𝐺₄
=
0,
𝐺₅
=
-0,73728
π𝑛
√5𝐴⁵
,
где 𝑛 обозначает число витков в обеих катушках, вместе взятых.
Из этих результатов следует, что если каркас катушки с намоткой по φ имеет прямоугольное сечение высотой ξ и шириной η, то величина 𝐺₃ с учётом поправки на конечные размеры сечения будет малой, а при отношении ξ² к η², равном 36 к 31, она обращается в ноль.
Поэтому совсем не обязательно стараться наматывать катушку на коническую поверхность, как это делалось некоторыми изготовителями приборов, ибо соответствующим условиям можно удовлетворить с помощью катушек прямоугольного сечения, которые могут быть изготовлены с гораздо большей точностью, чем катушки, намотанные на конус с широким раствором.
Расположение катушек в двойном гальванометре Гельмгольца представлено на рис. 53 в п. 725.
Поле силы, создаваемое двойной катушкой в плоскости её сечения, представлено на рис. XIX в конце данного тома.
Четырехкатушечный гальванометр
714. Комбинируя четыре катушки, можно избавиться от коэффициентов 𝐺₂, 𝐺₃, 𝐺₄, 𝐺₅, и 𝐺₆. При любой симметричной комбинации мы избавляемся от коэффициентов чётных порядков. Пусть четыре катушки будут параллельны окружностям, принадлежащими одной и той же сфере, а соответствующие им углы равны θ, φ, π-φ и π-θ.
Пусть число витков в первой и четвёртой катушках равно 𝑛, а во второй и третьей -𝑝𝑛; Тогда условие того, что для этой комбинации 𝐺₂=0, даёт
𝑛sin²θ
𝑃₃'(θ)
+
𝑝𝑛sin²φ
𝑃₃'(φ)
=
0,
(1)
а условие того, что 𝐺₅=0, даёт
𝑛sin²θ
𝑃₅'(θ)
+
𝑝𝑛sin²φ
𝑃₅'(φ)
=
0.
(2)
Полагая
sin²θ
=
𝑥
и
sin²φ
=
𝑦
(3)
и выражая 𝑃₃' и 𝑃₅' (п. 698) через эти величины, получим в качестве уравнений (1) и (2)
4𝑥
-
5𝑥²
+
4𝑝𝑦
-
5𝑝𝑦²
=
0,
(4)
8𝑥
-
28𝑥²
+
21𝑥³
+
8𝑝𝑦
-
28𝑝𝑦²
+
21𝑝𝑦³
=
0.
(5)
Дважды вычитая (4) из (5) и деля на 3, получаем
6𝑥²
-
7𝑥³
+
6𝑝𝑦²
-
7𝑝𝑦³
=
0.
(6)
Следовательно, из (4) и (6) имеем
𝑝
=
𝑥
𝑦
5𝑥-4
4-5𝑦
=
𝑥²
𝑦²
7𝑥-6
6-7𝑦
,
и мы получаем
𝑦
=
4
7
7𝑥-6
5𝑥-4
,
1
𝑝
=
32
49𝑥
7𝑥-6
(5𝑥-4)³
.
Как 𝑥, так и 𝑦 являются квадратами синусов углов и должны поэтому лежать в пределах от 0 до 1. Следовательно, либо 𝑥 лежит между 0 и 4/7, при этом 𝑦 находится между 6/7 и 1, а 1/𝑝 - между ∞ и 49/32, или же 𝑥 лежит между 6/7 и 1, при этом 𝑦 находится между 0 и 4/7, а 1/𝑝 - между 0 и 32/49.
Трёхкатушечный гальванометр
715. Наиболее удобным является расположение катушек, при котором 𝑥=1. В этом случае две катушки совмещаются друг с другом и образуют большую окружность сферы радиуса 𝐶. Число витков в этой составной катушке равно 64. Две другие катушки образуют малые окружности сферы. Радиус каждой из них равен √4/7𝐶. Расстояние от каждой из них до плоскости первой катушки равно √3/7𝐶. Число витков в каждой из этих катушек равно 49.
Значение 𝐺₁ равно 240π/𝐶.
Такое расположение катушек показано на рис. 50.
Рис. 50
Поскольку для такого трёхкатушечного гальванометра первым после 𝐺₁ членом, имеющим конечное значение, является 𝐺₇, то в большей части пространства внутри сферы, на поверхности которой лежат катушки, поле силы будет довольно однородным.
Если бы мы могли намотать провод по всей сферической поверхности, как описано в п. 672, мы получили бы поле абсолютно однородной силы. Однако, даже отвлекаясь от того, что область внутри такой катушки, образующей замкнутую поверхность, недоступна извне, практически невозможно распределить обмотку на сферической поверхности с достаточной точностью.
