⎩
2πℏ
𝑙𝑐
⎫
⎪
⎭
|𝑗
1𝑙
|
2
𝑁𝑀
δ(
𝐸
𝑀
-
𝐸
𝑁
-
ℏ𝑙𝑐
).
(9.52)
Обычно мы не задаёмся вопросом об излучении какого-либо определённого фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол 𝑑Ω. Для этого необходимо просуммировать 𝐥 по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений 𝐥 в единице объёма есть 𝑑𝐥/(2π)³; если направление 𝐥 задано, то мы должны взять интеграл по 𝑑𝑙, записав 𝑑𝐥/(2π)³ в виде 𝑙²𝑑𝑙𝑑Ω/(2π)³. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
∫
(2π)²
𝑙𝑐
|𝑗
1𝑙
|
2
𝑁𝑀
δ(
𝐸
𝑀
-
𝐸
𝑁
-
ℏ𝑙𝑐
)
𝑙²
𝑑𝑙𝑑Ω
(2π)³
.
(9.53)
Интегрирование по 𝑙 даёт выражение
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
ω
2πℏ𝑐³
|𝑗
1𝑙
|
2
𝑁𝑀
𝑑
Ω
,
(9.54)
характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению 𝐥 в телесный угол 𝑑Ω. Частота излучаемого света
ω=𝑙𝑐=
𝐸𝑀-𝐸𝑁
ℏ
.
(9.55)
Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем
(𝑗
1𝐤
)
𝑁𝑀
=
∑
𝑏
(
𝑒
𝑏
𝐞⋅𝐪̇
𝑏
𝑒
-𝑖𝐤⋅𝐪𝑏
)
𝑁𝑀
,
(9.56)
где 𝐞 — единичный вектор в направлении поляризации света, 𝑒𝑏 и 𝐪𝑏 — заряд и радиус-вектор частицы 𝑏. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т.е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона 𝑏, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1/𝑘. Покажите, что при этом экспоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐪𝑏/ℏ) можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как
𝑗
1𝐤,𝑁𝑀
=
𝑖ω𝐞⋅
μ
𝑁𝑀
,
(9.57)
где
μ
𝑁𝑀
=
∑
𝑏
(
𝑒
𝑏
𝐪
𝑏
)
𝑁𝑀
.
(9.58)
Функция μ𝑁𝑀 называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
4ω³
3ℏ𝑐³
|
μ
𝑁𝑀
|²
.
(9.59)
[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учётом того, что векторы 𝐞 и 𝐤 перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]
Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным 𝑎1𝐤 и 𝑎2𝐤 в выражении (9.44). Для этого нужно ещё задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как
амплитуда
=
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆част
𝑋[𝑞]
𝒟𝑞
,
(9.60)
где
𝑋[𝑞]
=
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝑆взаим+𝑆поле)
∏
𝐤
𝑑𝑎
1𝐤
𝑑𝑎
2𝐤
(9.61)
—функционал от переменных 𝑞, которые входят в первую часть равенства через токи 𝑗. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды
∏
(𝑆
1𝐤
+𝑆
2𝐤
)
,
𝑘
где
𝑆
=
∫
⎡
⎢
⎣
√
4π
(𝑗𝑎*+𝑗*𝑎)
+
1
2
𝑎̇*𝑎̇
-
𝑘²𝑐²
2
𝑎*𝑎
-
ℏ𝑘𝑐
2
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
(9.62)
то ясно, что функционал 𝑋 представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как
𝑋
1𝐤
=
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
⎧
⎪
⎩
√
4π
𝑗
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
+
√
4π
𝑗
1𝐤
𝑎
*
1𝐤
+
+
1
2
𝑎̇
*
1𝐤
𝑎̇
1𝐤
-
𝑘²𝑐²
2
𝑎
*
1𝐤
𝑎
1𝐤
ℏ𝑘𝑐
2
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝒟𝑎
1𝐤
=
=
exp
⎡
⎢
⎣
-
4π
2ℏ
∫
𝑗
1𝐤
(𝑡)
𝑗
*
1𝐤
(𝑠)
1
2𝑘𝑐
𝑒
-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|
𝑑𝑡
𝑑𝑠
⎤
⎥
⎦
.
(9.63)
С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция γ(𝑡) в формуле (8.136) теперь заменяется на γ=√4π𝑗1𝐤 и ω равно 𝑘𝑐 тогда окончательное выражение (9.63) совпадёт с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех 𝑘 и обеих поляризаций даёт функционал 𝑋=exp(𝑖𝐼/ℏ), где
𝐼=
1
2
