Глава 8
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Задача о гармоническом осцилляторе — это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить её, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно
𝐾(𝑥
𝑏
,𝑇;𝑥
𝑎
,0)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
×
×exp
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ sin ω𝑇
[𝑥
2
𝑎
+𝑥
2
𝑏
)
cos ω𝑇
-
2𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
]
⎫
⎬
⎭
.
(8.1)
Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить — точно или приближённо — все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займёмся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы CO2. Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведённое на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.
В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твёрдого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.
В качестве ещё одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объёме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определёнными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задаёт квантовый осциллятор.
§ 1. Простой гармонический осциллятор
Решение уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнём наше рассмотрение с уравнения Шрёдингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде
𝐿
=
𝑚
2
(𝑥̇²-ω²𝑥²)
.
(8.2)
Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как
𝐻
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑚
2
ω²𝑥²
,
(8.3)
и можно написать волновое уравнение
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
𝐻ψ
=
⎧
⎪
⎩
𝑝²
2𝑚
+
𝑚
2
ω²𝑥²
⎫
⎪
⎭
ψ.
(8.4)
Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определёнными энергиями 𝐸𝑛. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна exp(𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ).
Вспомнив, что оператор импульса 𝑝 соответствует дифференцированию по 𝑥 (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шрёдингера для пространственной части волновой функции в виде
𝐻φ
𝑛
=
ℏ²
2𝑚
∂²φ𝑛
∂𝑥²
+
𝑚ω²𝑥²
2
φ
𝑛
=
𝐸
𝑛
φ
𝑛
.
(8.5)
Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны
𝐸
𝑛
=
ℏω
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
,
(8.6)
где 𝑛 принимает целые значения 0, 1, 2, .... Собственные функции φ𝑛 имеют вид
φ
𝑛
=
(2
𝑛
𝑛!)
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
𝐻
𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑥
⎡
⎢
⎣
𝑚ω
ℏ
⎤½
⎥
⎦
⎫
⎪
⎭
𝑒
-𝑚ω𝑥2/2ℏ
,
(8.7)
где 𝐻𝑛 полиномы Эрмита
𝐻
0
(𝑦)
=1,
𝐻
1
(𝑦)
=2𝑦,
𝐻
2
(𝑦)
=4𝑦
2
-2,
. . . . . . . . . .
𝐻
𝑛
(𝑦)
=
(-1)
𝑛
𝑒
𝑦2
𝑑𝑛
𝑑𝑦𝑛
𝑒
-𝑦2
.
(8.8)
Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции
𝑒
-𝑡2+2𝑡𝑦
=
∞
∑
𝑛=0
𝐻
𝑛
(𝑦)
𝑡𝑛
𝑛!
.
(8.9)
Все эти результаты можно было бы получить и другим путём. Так, например, функции φ𝑛 мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временно'й зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.
Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.е.
