𝐾(𝑁-1,𝑁-2)
…
𝐾(𝑖+1,𝑖)
…
𝐾(1,𝑎)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
…
𝑑𝑥
𝑁-1
.
(2.33)
Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени ε, имеет вид
𝐾(𝑖+1,𝑖)=
1
𝐴
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖ε
ℏ
𝐿
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑖+1-𝑥𝑖
ε
,
𝑥𝑖+1+𝑥𝑖
2
,
𝑡𝑖+1+𝑡𝑖
2
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(2.34)
Последнее выражение является точным в первом приближении по ε. Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:
φ[𝑥(𝑡)]=
lim
ε→0
𝑁-1
∏
𝑖=0
𝐾(𝑖+1,𝑖).
(2.35)
Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).
§ 6. Некоторые замечания
В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде 𝑒𝑖𝑆/ℏ или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро 𝐾(𝑖+1,𝑖) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.
В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на ℏ. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.
Глава 3
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.
Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.
Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.
§ 1. Свободная частица
Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен
𝐿=
𝑚𝑥̇²
2
,
(3.1)
поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде
𝐾(𝑏,𝑎)=
lim
ε→0
∫∫
…
∫
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏε
𝑁
∑
𝑖=1
(𝑥
𝑖
-𝑥
𝑖-1
)²
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑑𝑥
1
…
𝑑𝑥
𝑁-1
.
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-𝑁/2
⎪
⎭
.
(3.2)
Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида
∫
[exp(-𝑎𝑥²)]𝑑𝑥
или
∫
[exp(-𝑎𝑥²+𝑏𝑥)]𝑑𝑥.
Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим
𝐾(𝑏,𝑎)=
⎡
⎢
⎣
2π𝑖ℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
𝑚
⎤-½
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
2ℏ(𝑡𝑏-𝑡𝑎)
⎤
⎥
⎦
.
(3.3)
Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
𝑚
2𝑖ℏε
[(𝑥
2
-𝑥
1
)²+(𝑥
1
-𝑥
0
)²]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
1
=
=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏ⋅2ε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏ⋅2ε
(𝑥
2
-𝑥
0
)²
⎤
⎥
⎦
.
(3.4)
Умножим это выражение на функцию
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫-½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑚
2𝑖ℏε
(𝑥
3
-𝑥
2
)²
⎤
⎥
⎦
(3.5)
