§ 6. Цель этой книги

Выше мы установили форму, в которой следует выражать законы квантовой механики, т.е. ввели амплитуду вероятности и в общих чертах наметили путь к её вычислению. Однако возможны и другие формулировки. При более привычном подходе к квантовой механике амплитуду вероятности вычисляют, решая волновое уравнение определённого типа. В случае частиц с малой скоростью оно называется уравнением Шрёдингера. Более точным уравнением, справедливым и для тех электронов, чья скорость сколь угодно близка к скорости света, является уравнение Дирака. В этом случае амплитуда вероятности представляет собой некоторое гиперкомплексное число. В нашей книге мы не будем рассматривать уравнение Дирака и не будем также исследовать эффекты, связанные со спином. Вместо этого ограничим своё внимание электронами низких энергий и немного продвинемся в направлении квантовой электродинамики путём изучения фотонов — частиц, поведение которых определяется уравнениями Максвелла.

Правила вычисления амплитуды вероятности для нерелятивистских задач мы выводим в этой книге несколько непривычным способом. Иногда, особенно при первом знакомстве с основами квантовой механики, этот способ может быть более предпочтителен; в других же случаях, например при выполнении расчётов в простых задачах и при изучении уже имеющейся литературы, он не даёт преимуществ.

Традиционному подходу, основанному на уравнении Шрёдингера, посвящено уже много книг; взгляды же, которые будут изложены ниже, представлены лишь в сокращённом виде в нескольких журнальных статьях [1]. Главная цель нашей книги — собрать работы, выполненные в этом направлении, в один том, где их можно изложить достаточно ясно и подробно. Такая книга оказалась бы полезной для студентов, интересующихся этими вопросами.

Чтобы остаться в разумных границах, мы не будем делать полного построения квантовой механики. Вместо этого всякий раз, когда дальнейшее разъяснение лучше всего было бы проводить с помощью обычных аргументов, имеющихся в других книгах, мы будем отсылать читателя к этим источникам. Вследствие такой неполноты наша книга не является замкнутым учебником по квантовой механике. Она может служить лишь введением в её основные понятия и должна использоваться совместно с другой книгой, где излагались бы уравнение Шрёдингера, матричная механика и различные приложения квантовой механики.

С другой стороны, освободившееся место мы используем для рассмотрения приложений применяемых в квантовой механике математических методов к другим областям физики.

Отыскание строгого метода вычисления амплитуд вероятностей процессов с участием таких (представляющихся сейчас более сложными) частиц, как нуклоны и мезоны, является задачей будущего. Конечно, можно надеяться, что после открытия неизвестных нам ещё законов мы получим возможность вычислять амплитуды для любых процессов. Однако сегодняшняя ситуация, видимо, не аналогична той, которая предшествовала появлению квантовой механики.

В двадцатые годы многие предполагали, что неправильными являются фундаментальные теоремы и концепции классической механики, поскольку в то время существовало много парадоксов. Общие законы могли быть получены независимо от рассматривавшихся конкретных сил. Некоторые из этих законов оказались несправедливыми. Например, каждая спектральная линия указывала на наличие в атоме отдельной степени свободы; при температуре 𝑇 каждая такая степень свободы должна была бы иметь энергию 𝑘𝑇 и вносить вклад 𝑅 в общую удельную теплоёмкость. Однако столь высокая удельная теплоёмкость, которую можно было ожидать в соответствии с огромным числом известных спектральных линий, на опыте не проявлялась.

В настоящее время представляется правильной любая общая закономерность, которую (как, например, свойства углового момента) мы в состоянии вывести непосредственно из принципа суперпозиции амплитуд вероятности. В то же время детали взаимодействий все ещё ускользают от нас. Это наводит на мысль, что амплитуды вероятности будут существовать и в будущей теории, однако метод их вычисления может оказаться для нас весьма необычным.

Глава 2

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ

В этой главе мы намерены завершить построение нерелятивистской квантовой механики, начатое нами в гл. 1. Мы уже отметили, что для каждой траектории существует своя амплитуда вероятности; теперь мы установим вид этой амплитуды. Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения частицы. Пусть её положение в любой момент времени 𝑡 может быть определено координатой 𝑥; под траекторией будем понимать тогда функцию 𝑥(𝑡).

Если частица в начальный момент времени 𝑡_𝑎 начинает движение из точки 𝑥_𝑎 и приходит в конечную точку 𝑥_𝑏 в момент времени 𝑡_𝑏, то будем просто говорить, что частица движется из 𝑎 в 𝑏, а функция 𝑥(𝑡) обладает свойством 𝑥(𝑡_𝑎) = 𝑥_𝑎, 𝑥(𝑡_𝑏) = 𝑥_𝑏.

Тогда в квантовомеханическом описании получим амплитуду вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏, называемую обычно ядром, которую обозначим через 𝐾(𝑏,𝑎). Эта амплитуда будет суммой вкладов от всех возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 в противоположность классической механике, где две точки соединяет одна и только одна так называемая классическая траектория. Последнюю будем обозначать как 𝑥(𝑡). Прежде чем перейти к формулировке законов для квантовомеханического случая, вспомним ситуацию, которая имеет место в классической механике.

§ 1. Действие в классической механике

Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определённую траекторию 𝑥(𝑡), является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина 𝑆, которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория 𝑥 — это та, для которой 𝑆 принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, значение 𝑆 в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории 𝑥(𝑡).

Величина 𝑆 задаётся выражением

𝑆=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿

(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡

(2.1)

где 𝐿 — лагранжиан системы. Для частицы с массой 𝑚, движущейся в потенциальном поле 𝑉(𝑥,𝑡), которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-𝑉(𝑥,𝑡)

(2.2)

Вид экстремальной траектории 𝑥(𝑡) находится с помощью обычных вариационных методов. Допустим, например, что траектория отличается от 𝑥 на величину δ𝑥(𝑡). Условие того, что конечные точки траектории 𝑥 фиксированы, требует, чтобы

δ𝑥(𝑡

_𝑎

)=

δ𝑥(𝑡

_𝑏

)=0.

(2.3)

Условие экстремальности для 𝑆, соответствующего классической траектории 𝑥, означает, что

δ𝑆=𝑆[

𝑥

+δ𝑥]-

𝑆[

𝑥

]=0

(2.4)

с точностью до первого порядка малости по δ𝑥. Используя определение (2.1), мы можем далее написать

𝑆[𝑥+δ𝑥]

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿(𝑥̇+δ𝑥̇,𝑥+δ𝑥,𝑡)𝑑𝑡=

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)+δ𝑥̇

∂𝐿

∂𝑥̇

+δ𝑥

∂𝐿

∂𝑥

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡=