⎫

⎬

⎭

.

(12.41)

где теперь функция 𝐵(𝑡,𝑡') представляет собой ядро, обратное ядру 𝐴(𝑡,𝑡'), т.е. функции 𝐴 и 𝐵 связаны равенством

∫

𝐴(𝑡,τ)

𝐵(τ,𝑠)

𝑑τ

=

δ(𝑡-𝑠)

.

(12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом

Φ

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.43)

Функция 𝐴(τ) называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции 𝑓(𝑡) равна

𝑃[𝑓(𝑡)]

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐵(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.44)

В последнем выражении появилась функция 𝐵, обратная по отношению к корреляционной функции 𝐴. Это означает, что ∫𝐵(𝑡-𝑠)𝐴(𝑠)𝑑𝑠=δ(𝑡) или, если

𝒫(ω)

=

∫

𝐴(τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

(12.45)

является преобразованием Фурье от функции 𝐴(τ), то преобразование Фурье от функции 𝐵(τ) равно 1/𝒫(ω).

Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

⟨𝑓(𝑎)⟩

=

-𝑖

δΦ

δ𝑘(𝑎)

(12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

δΦ

δ𝑘(𝑎)

=

⎡

⎢

⎣

-

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

Φ

(12.47)

и обращается в нуль, если 𝑘(𝑡)=0.

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты 𝑎 и 𝑏. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

=

δ²Φ

δ𝑘(𝑎)δ𝑘(𝑏)

=

𝐴(𝑏-𝑎)

Φ

-

-

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡'-𝑎)

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

Φ

.

(12.48)

Вычислив это выражение для 𝑘=0, получим просто 𝐴(𝑏-𝑎). Отсюда ясно, почему 𝐴 называется корреляционной функцией.

§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от

φ(ω)

=

∫

𝑓(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

.

(12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

⟨|φ(ω)|²⟩

=

╱

╲

∫

𝑓(𝑎)

𝑒

^𝑖ω𝑎

𝑑𝑎

∫

𝑓(𝑏)

𝑒

^𝑖ω𝑏

𝑑𝑏

╲

╱

=

=

∬

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

=

=

∬

𝐴(𝑏-𝑎)

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

=

𝒫(ω)

𝑑𝑎

.

(12.50)

Здесь мы использовали функцию 𝒫(ω), фурье-образ корреляционной функции 𝐴 [см. выражение (12.45)].

Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек

𝒫(ω)

=

среднее значение |φ(ω)|²

.

(12.51)

Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае — это просто функция μλ(τ) из формулы (12.22), т.е.

𝐴(τ)

=

μ

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑑τ

.

(12.52)

Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна

𝒫(ω)

=

μ

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

𝑑𝑡

=

μ|γ(ω)|²

,

(12.53)

где γ(ω) — фурье-образ функции сигнала 𝑔(𝑡). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты 𝑡_𝑖 так что

𝑓(𝑡)

=

∑

^𝑖

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑖

)

,

то фурье-образ 𝑓(𝑡) равен

φ(ω)

=

∑

^𝑖

γ(ω)

𝑒

^{𝑖ω𝑡_𝑖}

.

Таким образом, среднее значение квадрата φ(ω)

⟨|φ(ω)|²⟩

=

⎪

⎪

⎪

∑

^𝑖,𝑗

|γ(ω)|²

𝑒

^{𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)}

⎪

⎪

⎪

.

(12.54)

А так как моменты 𝑡_𝑖 случайны и независимы от 𝑡_𝑗 для 𝑗≠𝑖, то при усреднении ни один из членов с 𝑖≠𝑗 не даёт вклада, так как среднее значение exp[𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)] равно нулю: остаются только члены с 𝑖=𝑗. Каждый из них равен |γ(ω)|², а общее их число μ𝑇, так что средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек равна μ|γ(ω)|².

В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), 𝐴(𝑡-𝑡')=const δ(𝑡-𝑡').. Это означает, что 𝑓(𝑡) не зависит от ω и при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек].

Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для 𝑓(𝑡), а прямо для её фурье-образа φ(ω) и выражая характеристический функционал не через 𝑘(𝑡), а через его фурье-образ 𝐾(ω):

𝐾(ω)