(12.29)
Конечно, каждая из вероятностных функций для величин 𝑎𝑗 обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию 𝑊[ω] и определим её равенством
𝑊[ω]
=
∫
𝑒
𝑖ω𝑎
𝑝(𝑎)𝑑𝑎
.
(12.30)
Тогда выражение для Φ можно записать в виде
Φ
=
∏
𝑗
𝑊
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑡
𝑗
)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
.
(12.31)
Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0≤𝑡≤𝑇. Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно 𝑛 импульсов, то получим характеристический функционал
Φ
=
⎧
⎪
⎩
γ
𝑇
⎫𝑛
⎪
⎭
(12.32)
где
γ
=
∫
𝑊
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑠)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
.
(12.33)
Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на 𝑛𝑛𝑒-𝑛/𝑛!, где, как прежде, 𝑛=μ𝑇 — среднее число сигналов за время 𝑇. Суммируя по 𝑛, получаем
Φ
=
𝑒
-μ(𝑇-γ)
=
exp
⎧
⎪
⎩
-μ
∫
⎧
⎨
⎩
1-
𝑊
⎡
⎢
⎣
∫
𝑘(𝑡)
𝑢(𝑡-𝑠)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑠
⎫
⎪
⎭
.
(12.34)
В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать δ-функцией, т.е. 𝑢(𝑡)=δ(𝑡). Тогда характеристический функционал
Φ
=
⎧
⎪
⎩
-μ
∫
{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}
𝑑𝑠
⎫
⎪
⎭
.
(12.35)
Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным σ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение
𝑝(𝑎)𝑑𝑎
=
1
√2πσ
𝑒
-𝑎²/2σ²
𝑑𝑎
.
(12.36)
В этом случае характеристическая функция
𝑊[ω]
=
𝑒
-σ²ω²/2
(12.37)
приводит к следующему выражению для Φ:
Φ[𝑘(𝑡)]
=
exp
⎡
⎢
⎣
-μ
∫
(1-𝑒
-(σ²/2)[𝑘(𝑠)]²
)
𝑑𝑠
⎤
⎥
⎦
.
(12.38)
Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал. На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя σ соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением
Φ
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
μσ²
2
∫
[𝑘(𝑡)]²
𝑑𝑡
⎫
⎬
⎭
(12.39)
Такое распределение называется белым шумом.
§ 4. Гауссовы шумы
Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.
Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:
Φ
=
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
∫
𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
×
×
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∬
𝑘(𝑡)
𝑘(𝑡')
𝐴(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
.
(12.40)
Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта 𝑓(𝑡), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию 𝑓'=𝑓-𝐹(𝑡). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро 𝐴(𝑡,𝑡') должно иметь форму 𝐴(𝑡-𝑡').
В конкретных физических задачах вид функции 𝐴 можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом 𝐴(𝑡,𝑡')=μλ(𝑡-𝑡'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.
Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 𝑖 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.
Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид
𝑃[𝑓(𝑡)]
=
exp
⎧
⎨
⎩
-
1
2
∬
[𝑓(𝑡)-𝐹(𝑡)]
×
×
[𝑓(𝑡')-𝐹(𝑡')]
𝐵(𝑡,𝑡')
𝑑𝑡
𝑑𝑡'
