⎭

𝑑𝑠

𝑇

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

=

=

exp

⎡

⎢

⎣

-μ

_𝑇

∫

⁰

(1-𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡}

)

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

.

(12.19)

Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдём к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.

Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае 𝑔(𝑡) мало и, разлагая экспоненту exp[𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡] в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ

_𝑇

∫

⁰

_𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ𝐺

_2𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

,

(12.20)

где через 𝐺=∫𝑔(𝑡)𝑑𝑡 обозначена площадь сигнала. Это означает, что характеристическая функция Φ выражается в виде (12.15) с 𝐹(𝑡)=μ𝐺 (постоянной, не зависящей от 𝑡), а это эквивалентно достоверному утверждению, что 𝑓(𝑡) совпадает с или, другими словами, вероятность равна единице при наблюдении функции 𝑓(𝑡)=μ𝐺 и равна нулю при наблюдении других функций 𝑓(𝑡). Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов за 1 сек на среднее значение потенциала сигнала.

Перейдём теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала.

Равенство (12.20) даёт первое приближение экспоненты exp[𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡] в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде

-

μ

2

∬

𝑘(𝑡)𝑔(𝑡-𝑠)𝑑𝑡

∫

𝑘(𝑡')𝑔(𝑡'-𝑠)𝑑𝑡'

𝑑𝑠

.

(12.21)

Чтобы получить более простое выражение, введём функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,

λ(τ)

=

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑑𝑡

.

(12.22)

Эта подстановка приводит член второго порядка к виду

-

μ

2

_𝑇

∫

⁰

_𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

λ(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

.

(12.23)

Характеристический функционал с учётом членов первого и второго порядков приобретает вид

Φ

= exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ𝐺

∫

𝑘(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

exp

⎡

⎢

⎣

-

μ

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

λ(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.24)

Первый множитель в этом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчёта 𝑓(𝑡). Это означает, что путём изменения начала отсчёта функции 𝑓(𝑡) всегда можно освободиться от множителя exp[𝑖∫𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡] [т.е. записать 𝑓(𝑡)=𝐹(𝑡)+𝑓'(𝑡), изучить распределение вероятности и характеристический функционал для 𝑓(𝑡)]. Если мы сделаем такое изменение начала отсчёта, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока.

Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае λ(τ) — узкая, пикообразная функция от τ. Нарастание и спад формы сигнала 𝑔(𝑡) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, λ(τ) быстро стремится к нулю при увеличении τ. Поэтому, если λ(τ) имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением

𝑒

^{-(𝑞/2)∫[𝑘(𝑡)]²𝑑𝑡}

,

(12.25)

где обозначено

𝑞

=

μ

_∞

∫

^-∞

λ

𝑑τ

.

Это эквивалентно распределению вероятности

𝑃[𝑓(𝑡)]

=

𝑒

^{-(𝑞/2)∫[𝑓(𝑡)]²𝑑𝑡}

.

(12.26)

Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауссовым шумом.

Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причём многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведём здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы.

Покажем ещё на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде 𝑢(𝑡), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется как 𝑎𝑢(𝑡). Можно также допустить, что вес 𝑎 может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени 𝑡_𝑗, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения 𝑎_𝑗. Тогда результирующая функция представляется выражением

𝑓(𝑡)

=

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

.

(12.27)

Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16);

Φ

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(12.28)

Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего 𝑗-му сигналу, в интервале 𝑑𝑎_𝑗 через 𝑝(𝑎_𝑗)𝑑𝑎_𝑗, то характеристический функционал будет иметь вид

Φ

=

∬

…

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

×

×

𝑝(𝑎

₁

)𝑑𝑎

₁

𝑝(𝑎

₂

)𝑑𝑎

₂

…

.