∑
𝑘≠𝑚
𝑖|𝑉𝑘𝑚|²
(𝐸𝑚-𝐸𝑘)ℏ
⎧
⎨
⎩
𝑇
-
1-exp[-𝑖𝑇(𝐸𝑘-𝐸𝑚)/ℏ]
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑚)
⎫
⎬
⎭
.
(6.115)
Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты exp(-𝑖𝑉𝑚𝑚𝑇/ℏ). Первый из суммируемых членов будет пропорционален 𝑇, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна 𝑉𝑚𝑚, а содержит ещё поправки высшего порядка. С учётом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде
Δ𝐸
𝑚
=
𝑉
𝑚𝑚
-
∑
𝑘≠𝑚
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑚
𝐸𝑚-𝐸𝑘
.
(6.116)
Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение
(𝐻+𝑉)φ
=
𝐸φ
.
(6.117)
Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.
В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных 𝑇, 𝑇² и т.д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-𝑖Δ𝐸𝑇/ℏ) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для Δ𝐸.
До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние 𝐸𝑘 лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае 𝑛≠𝑚, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный 𝑇, и приведут к поправке в уравнении (6.116)
Δ'𝐸
𝑘
=
-𝑖π
∑
𝑘
δ(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑘
)
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑚
.
(6.118)
Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -𝑖γ/2 (множитель ½ вводится для удобства) и запишем
Δ𝐸
𝑘
-
𝑖γ
2
=
𝑉
𝑚𝑚
∑
𝑘
|𝑉𝑚𝑘|²
𝐸𝑚-𝐸𝑘-𝑖ε
.
(6.119)
Отсюда следует, что амплитуда перехода λ𝑚𝑚, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии 𝑚, пропорциональна экспоненте
exp
⎡
⎢
⎣
-𝑖
⎧
⎪
⎩
Δ
𝐸
𝑚
-
𝑖γ
2
⎫
⎪
⎭
𝑇
⎤
⎥
⎦
=
exp[-𝑖(
Δ
𝐸
𝑚
)𝑇]
exp
⎧
⎪
⎩
-
γ𝑇
2
⎫
⎪
⎭
.
Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время 𝑇 система по-прежнему будет пребывать в состоянии 𝑚; эта вероятность равна λ𝑚𝑚=exp(-γ𝑇) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния 𝑚 в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина γ является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния 𝑚 в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что
γ=
∑
𝑘
2πδ
(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑘
)
|𝑉
𝑚𝑘
|²
.
(6.120)
Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по 𝑉.
Величина, обратная γ, называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии Δ𝐸=(ℏ/время жизни) т.е. Δ𝐸=γ.
Если поставить эксперимент для определения различия энергий двух уровней, каждый из которых имеет ширину γ, то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр резонансного пика определяет разность энергий, а его ширина — сумму значений γ для данных двух уровней.
Глава 7
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕХОДА
В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается постоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невозмущённое состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем. С этой целью введём более общие обозначения и попытаемся несколько шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода.
Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.
§ 1. Определение матричных элементов перехода
Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент 𝑡1 состояние описывается волновой функцией ψ(𝑥1,𝑡1). В более поздний момент времени 𝑡2 это начальное состояние переходит в состояние ψ(𝑥2,𝑡2).
