Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

𝑘≠𝑚

𝑖|𝑉𝑘𝑚

(𝐸𝑚-𝐸𝑘)ℏ

𝑇

-

1-exp[-𝑖𝑇(𝐸𝑘-𝐸𝑚)/ℏ]

(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑚)

.

(6.115)

Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты exp(-𝑖𝑉𝑚𝑚𝑇/ℏ). Первый из суммируемых членов будет пропорционален 𝑇, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна 𝑉𝑚𝑚, а содержит ещё поправки высшего порядка. С учётом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде

Δ𝐸

𝑚

=

𝑉

𝑚𝑚

-

 

𝑘≠𝑚

𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑚

𝐸𝑚-𝐸𝑘

.

(6.116)

Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение

(𝐻+𝑉)φ

=

𝐸φ

.

(6.117)

Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.

В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных 𝑇, 𝑇² и т.д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-𝑖Δ𝐸𝑇/ℏ) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для Δ𝐸.

До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние 𝐸𝑘 лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае 𝑛≠𝑚, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный 𝑇, и приведут к поправке в уравнении (6.116)

Δ'𝐸

𝑘

=

-𝑖π

 

𝑘

δ(𝐸

𝑚

-𝐸

𝑘

)

𝑉

𝑚𝑘

𝑉

𝑘𝑚

.

(6.118)

Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -𝑖γ/2 (множитель ½ вводится для удобства) и запишем

Δ𝐸

𝑘

-

𝑖γ

2

=

𝑉

𝑚𝑚

 

𝑘

|𝑉𝑚𝑘

𝐸𝑚-𝐸𝑘-𝑖ε

.

(6.119)

Отсюда следует, что амплитуда перехода λ𝑚𝑚, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии 𝑚, пропорциональна экспоненте

exp

-𝑖

Δ

𝐸

𝑚

-

𝑖γ

2

𝑇

=

exp[-𝑖(

Δ

𝐸

𝑚

)𝑇]

exp

-

γ𝑇

2

.

Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время 𝑇 система по-прежнему будет пребывать в состоянии 𝑚; эта вероятность равна λ𝑚𝑚=exp(-γ𝑇) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния 𝑚 в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина γ является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния 𝑚 в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что

γ=

 

𝑘

2πδ

(𝐸

𝑚

-𝐸

𝑘

)

|𝑉

𝑚𝑘

.

(6.120)

Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по 𝑉.

Величина, обратная γ, называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии Δ𝐸=(ℏ/время жизни) т.е. Δ𝐸=γ.

Если поставить эксперимент для определения различия энергий двух уровней, каждый из которых имеет ширину γ, то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр резонансного пика определяет разность энергий, а его ширина — сумму значений γ для данных двух уровней.

Глава 7

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕХОДА

В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается постоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невозмущённое состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем. С этой целью введём более общие обозначения и попытаемся несколько шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода.

Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.

§ 1. Определение матричных элементов перехода

Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент 𝑡1 состояние описывается волновой функцией ψ(𝑥1,𝑡1). В более поздний момент времени 𝑡2 это начальное состояние переходит в состояние ψ(𝑥2,𝑡2).

62
{"b":"569347","o":1}