Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20—22]).
§10. Заключение
Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов по траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На это можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям её по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее развитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,— это вариационный принцип, обсуждавшийся в гл. 11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастёт.
Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто даёт ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.
Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьёзные недостатки. Таким методом нельзя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряжённых им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем. И очень серьёзным ограничением является то, что полуцелый спин электрона не имеет простого и ясного представления в нашем методе. Спин электрона можно ввести, если амплитуды вероятности и все величины рассматривать как кватернионы, а не как обычные комплексные числа; однако возникающая при этом некоммутативность таких чисел — серьёзное осложнение.
Вместе с тем многие результаты и формулировки метода интегралов по траекториям можно выразить с помощью другого математического формализма, представляющего собой одну из форм исчисления упорядоченных операторов (см. [23]). В этой форме большинство результатов предыдущих глав находят аналогичное, но более общее представление, включающее некоммутирующие переменные (такое обобщение неизвестно лишь для специальных задач гл. 11). Например, обсуждение в данной главе функционалов влияния должно натолкнуть читателя на мысль, что важным и интересным обобщением была бы связь среды не с координатой 𝑞, а с некоммутирующим оператором, таким, как спин. Такие обобщения не могут быть просто выражены с помощью интегралов по траекториям, но легко формулируются на языке тесно связанного с ним операторного исчисления.
Стоит и дальше прилагать усилия, чтобы распространить метод интегралов по траекториям за его сегодняшние пределы. Несмотря на ограничения, ценность его весьма велика благодаря той помощи, Которую он оказывает интуиции исследователя в соединении физического понимания сути дела с математическим анализом.
Приложение
ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎𝑥²+𝑏𝑥
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
π
-𝑎
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-𝑏²/4𝑎
,
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎(𝑥1-𝑥)²
𝑒
𝑏(𝑥2-𝑥)²
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
-π
𝑎+𝑏
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
(𝑥
1
-𝑥
2
)²
⎤
⎥
⎦
,
∞
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑎
𝑥²
-
𝑏𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
π
4𝑏
⎫½
⎪
⎭
exp
(-2√
𝑎𝑏
)
,
𝑇
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑎
𝑇-τ
-
𝑏
τ
⎫
⎪
⎭
𝑑τ
√(𝑇-τ)τ³
=
exp
[-(1/𝑇)(√𝑎+√𝑏)²]
√𝑏𝑇/π
,
𝑇
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
-
𝑎
𝑇-τ
-
𝑏
τ
⎫
⎪
⎭
𝑑τ
[√(𝑇-τ)τ]³
=
=
⎧
⎪
⎩
π
𝑇³
⎫½
⎪
⎭
√𝑎+√𝑏
√𝑎𝑏
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
𝑇
(√
𝑎
+√
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
,
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑎𝑥²
=
⎧
⎪
⎩
π
𝑎
⎫½
⎪
⎭
,
π/2
∫
0
𝑒
-𝑞 sin𝑥
sin 2𝑥
𝑑𝑥
=
2
𝑞²
[(𝑞-1)𝑒
𝑞
+1]
,
π
∫
0
𝑒
𝑝 cos𝑥
sin(𝑝 sin𝑥)
sin 𝑎𝑥
𝑑𝑥
π
∫
0
𝑒
𝑝 cos𝑥
cos(𝑝 sin𝑥)
cos 𝑎𝑥
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
π𝑝𝑎
2𝑎!
,
∞
∫
0
𝑒
-λ𝑥𝑚
𝑥
𝑘
𝑑𝑥
=
1
𝑚
λ
-(𝑘+1)/𝑚
Γ
⎧
⎪
⎩
𝑘+1
𝑛
⎫
⎪
⎭
.
Литература
1.
Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).
2.
Schiff L. I., Quantum Mechanics, New York, 1955 (см. перевод: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957).
3.
Jahnke Е., Emde F., Tables of Functions, New York, 1943 (cм. перевод: Янке E., Эмде Ф., Таблицы функций, М.—Л., 1948).
4.
Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 2, 371 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).
5.
Рlеssеt М. S., Amer. Joum. Phys., 9, 1, 1—10 (1941).
6.
Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).
7.
Feynman R. P., Phys. Rev., 80, 440 (1950).
8.
Feуnmam R. P., Phys. Rev., 97, 660 (1955).
9.
