𝐹(𝑇)
=𝐶
⎧
⎪
⎩
sin ω𝑇
ω𝑇
⎫-½
⎪
⎭
,
(3.91)
где постоянная 𝐶 не зависит от ω. Но при ω=0 наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что
𝐹(𝑇)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫½
⎪
⎭
.
(3.92)
Следовательно, для гармонического осциллятора имеем
𝐹(𝑇)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
.
(3.93)
Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение.
Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению
𝐽√
𝑁
⎧
⎪
⎩
𝑇
π
⎫𝑁
⎪
⎭
𝑁
∏
𝑛=𝑖
1
𝑛
→1,
(3.94)
когда 𝑁→∞ .
Глава 4
ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В интегралах по траекториям, которые мы до сих пор рассматривали, всюду [за исключением выражения (3.82)] под знаком интеграла стояли экспоненты от действия, обладающего свойством
𝑆[2,1]=𝑆[2,3]+𝑆[3,1].
(4.1)
Такие интегралы можно исследовать с помощью интегральных уравнений, к которым они сводятся. Мы уже видели это в гл. 2 [см., например, выражение (2.31)] и в гл. 3 [выражение (3.42)].
Ещё более удобным методом, когда это возможно, является сведение интеграла по траекториям к дифференциальному уравнению. Такая возможность в квантовой механике существует и фактически представляет собой самый удобный способ изложения этой теории. Почти всегда бывает легче решить дифференциальное уравнение, чем непосредственно вычислять интеграл по траекториям. Обычное изложение квантовой механики основано именно на таком дифференциальном уравнении, известном как уравнение Шрёдингера. В данной главе мы выведем это уравнение на основе нашей формулировки квантовой механики, но не будем рассматривать его решение для большого числа примеров, поскольку такие решения достаточно подробно рассмотрены в других книгах 1).
1) См., например, [2]. (Большое число поучительных примеров, связанных с решением уравнения Шрёдингера, имеется в книгах советских авторов: Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, М., 1963; Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М., 1962; А. А. Соколов, Ю. М., Лоскутов и И. М. Тернов, Квантовая механика, М., 1962, и многих других.— Прим. ред.)
Заметим, что эта глава преследует двойную цель.
1. По отношению к читателю, который интересуется главным образом квантовой механикой, наша задача состоит в том, чтобы связать формулировку, основанную на интегралах по траекториям, с другими изложениями, встречающимися в научной литературе и учебниках, с тем чтобы читатель мог продолжить самостоятельное изучение предмета, научившись переходить с одного языка на другой и обратно.
2. Читателя, который интересуется в основном методом интегралов по траекториям, глава познакомит с техникой сведения определённого класса этих интегралов к дифференциальным уравнениям; такое сведение лучше всего показать на одном квантовомеханическом примере, к которому мы теперь и переходим.
§ 1. Уравнение Шрёдингера
Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 3. Например, момент 𝑡2 может отличаться от момента 𝑡3 всего лишь на бесконечно малый интервал ε. Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путём мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.
Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение
ψ(𝑥
2
,𝑡
2
)
=
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
1
(4.2)
описывает волновую функцию в момент времени 𝑡2 через волновую функцию в момент времени 𝑡1. Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим это соотношение к специальному случаю, когда время 𝑡2 отличается от времени 𝑡1 всего лишь на бесконечно малую величину ε. Ядро 𝐾(2,1) пропорционально экспоненциальной функции от действия для интервала времени (𝑡1𝑡2), выраженного в единицах 𝑖/ℏ. Но для малого интервала ε действие приближённо равно произведению ε на значение лагранжиана в некоторой точке этого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
exp
⎡
⎢
⎣
ε
𝑖
ℏ
𝐿
⎧
⎪
⎩
𝑥-𝑦
ε
,
𝑥+𝑦
2
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦.
(4.3)
Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡), т.е. к случаю, когда 𝐿=(𝑚𝑥̇²/2)-𝑉(𝑥,𝑡). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑚(𝑥-𝑦)²
2ε
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖
ℏ
ε𝑉
⎧
⎪
⎩
𝑥+𝑦
2
,𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦.
(4.4)
В показателе первой экспоненты появляется величина (𝑥-𝑦)²/ε. Ясно, что если 𝑦 заметно отличается от 𝑥, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении 𝑦 экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя даёт очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения 𝑦, близкие к 𝑥, когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку 𝑦=𝑥+η, имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых η. После подстановки получаем
