ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚η²
2ℏε
⎫
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
-
𝑖ε
ℏ
𝑉
⎧
⎪
⎩
𝑥+
η
2
,𝑡
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
ψ[(𝑥+η),𝑡]
𝑑η.
(4.5)
Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда η порядка √εℏ/𝑚, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений η.
Функцию ψ мы можем разложить в степенной ряд, причём необходимо удержать лишь члены порядка ε. Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по η. Величину ε𝑉[(𝑥+η/2),𝑡] можно заменить на ε𝑉(𝑥,𝑡), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем ε. Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по ε, а в правой — первым порядком по ε и вторым по η, получаем
ψ(𝑥,𝑡)
+
ε
∂ψ
∂𝑡
=
∞
∫
-∞
1
𝐴
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
⎡
⎢
⎣
1-
𝑖ε
ℏ
𝑉(𝑥,𝑡)
⎤
⎥
⎦
×
×
⎡
⎢
⎣
ψ(𝑥,𝑡)
+η
∂ψ
∂𝑥
+
1
2
η²
∂²ψ
∂𝑥²
⎤
⎥
⎦
𝑑η.
(4.6)
Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции ψ(𝑥,𝑡) на интеграл
1
𝐴
∞
∫
-∞
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
𝑑η
=
1
𝐴
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫½
⎪
⎭
;
(4.7)
в левой же части мы имеем только ψ(𝑥,𝑡). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при ε, стремящемся к нулю, необходимо выбрать 𝐴 таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует
𝐴=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫½
⎪
⎭
,
(4.8)
что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину 𝐴 можно определять и в более сложных задачах. Значение 𝐴 должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по ε. В противном случае при ε→0 предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.
Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:
∞
∫
-∞
1
𝐴
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
η
𝑑η
=0
(4.9)
и
∞
∫
-∞
1
𝐴
𝑒
𝑖𝑚η²/2ℏε
η²
𝑑η
=
𝑖ℏε
𝑚
(4.10)
Подставив в формулу (4.6) значения этих интегралов, получим
ψ+ε
∂ψ
∂𝑡
=ψ-
𝑖ε
ℏ
𝑉ψ-
ℏε
2𝑖𝑚
∂²ψ
∂𝑥²
.
(4.11)
Последнее равенство будет выполняться с точностью до ε, если функция ψ удовлетворяет уравнению
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=-
ℏ²
2𝑚
∂²ψ
∂𝑥²
+
𝑉(𝑥,𝑡)ψ.
(4.12)
Это и есть уравнение Шрёдингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.
Задача 4.1. Покажите, что для трёхмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом 𝑉 уравнение Шрёдингера имеет вид
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=-
ℏ²
2𝑚
∇²ψ+𝑉ψ.
(4.13)
Это уравнение, впервые записанное Шрёдингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.
Операторная форма уравнения Шрёдингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении, разных задач, можно для удобства записать в виде
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
𝐻ψ.
(4.14)
Символ 𝐻 здесь не является числом, а указывает на операцию, которую необходимо совершить над функцией ψ. Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12)
𝐻=-
ℏ²
2𝑚
∂²
∂𝑥²
+𝑉.
(4.15)
Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию ƒ, то образуется полное уравнение для этой функции. Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение
𝐻ƒ=-
ℏ²
2𝑚
∂²
∂𝑥²
+𝑉ƒ
(4.16)
справедливо для любой функции ƒ.
Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен
𝐿=
𝑚𝑟̇²
2
+
𝑒
𝑐
𝐫̇⋅𝐀-𝑒φ,
(4.17)
где 𝐫̇ — вектор скорости, 𝑒 — заряд, 𝑐 — скорость света, 𝐀 и φ — векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствующее уравнение Шрёдингера имеет вид
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
1
2𝑚
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
𝛁
-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
⋅
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
𝛁
-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
ψ+𝑒φψ.
(4.18)
Следовательно, в этом случае гамильтониан равен
𝐻=
1
2𝑚
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
𝛁
-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
⋅
⎧
⎪
⎩
