ℏ
𝑖
𝛁
-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
+𝑒φ.
(4.19)
Задача 4.3. Покажите, что комплексно-сопряжённая функция ψ* (которая получается, если в функции ψ изменить знак всех 𝑐) удовлетворяет уравнению
ℏ
𝑖
∂ψ*
∂𝑡
=
(𝐻ψ)*.
(4.20)
Смысл понятия «оператор» станет яснее из следующих примеров. Например, оператор 𝑥 означает умножение на 𝑥, оператор 𝑥² — умножение на 𝑥², оператор 𝑉(𝑥) (некоторая функция от 𝑥) — умножение на 𝑉(𝑥), оператор ∂/∂𝑥 — частное дифференцирование по 𝑥 и т.д.
Если 𝐴 и 𝐵 являются операторами, то оператор 𝐴𝐵 означает, что мы должны сначала применить оператор 𝐵 и затем уже оператор 𝐴, т.е. 𝐴𝐵ψ=𝐴(𝐵ψ). Поэтому, например, оператор 𝑥(∂/∂𝑥) означает умножение 𝑥 на ∂ψ/∂𝑥. С другой стороны, (∂/∂𝑥)𝑥 означает частную производную по 𝑥 от функции 𝑥ψ, или (∂/∂𝑥)(𝑥ψ)=𝑥(∂ψ/∂𝑥)+ψ. Мы видим, что операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴, вообще говоря, не тождественны. Оператор 𝐴+𝐵 определим так, чтобы действие 𝐴+𝐵 на функцию ψ давало функцию 𝐴ψ+𝐵ψ. Например, предыдущее соотношение можно следующим образом записать в виде уравнения операторов:
∂
∂𝑥
𝑥
=
𝑥
∂
∂𝑥
+1.
(4.21)
Это означает, что соотношение (∂/∂𝑥)𝑥ƒ=𝑥(∂/∂𝑥)ƒ+ƒ выполняется для любой функции ƒ.
Задача 4.4. Покажите, что
∂²
∂𝑥²
𝑥
=
𝑥
∂²
∂𝑥²
+2
∂
∂𝑥
(4.22)
и, следовательно, определённый формулой (4.15) оператор 𝐻 будет удовлетворять соотношению
𝐻𝑥-𝑥𝐻
=-
ℏ²
2𝑚
∂
∂𝑥
.
(4.23)
Такая операторная запись очень широко применяется в общепринятых формулировках квантовой механики.
Уравнение Шрёдингера для ядра. Поскольку ядро 𝐾(2,1), рассматриваемое как функция координат точки 2, представляет собой частный вид волновой функции (а именно волновую функцию частицы, исходящей из точки 1), оно тоже должно удовлетворять уравнению Шрёдингера. Поэтому в случае, соответствующем равенству (4.15), получаем
-
ℏ
∂
𝐾(2,1)=-
ℏ²
∂²
𝐾(2,1)+𝑉(2)𝐾(2,1)
(если 𝑡
2
>𝑡
1
),
𝑖
∂𝑡
2
2𝑚
∂𝑥
2
2
(4.24)
а в общем случае имеем для 𝑡2>𝑡1
-
ℏ
𝑖
∂𝐾(2,1)
∂𝑥2
-𝐻
2
𝐾(2,1)=0,
(4.25)
где оператор 𝐻2 действует только на координаты точки 2.
Задача 4.5. Используя соотношение
𝐾(2,1)=
∞
∫
-∞
𝐾(2,3)
𝐾(3,1)
𝑑𝑥
3
(4.26)
(где 𝑡3-𝑡1=ε — бесконечно малая величина), покажите, что если 𝑡2>𝑡1 то ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению
+
ℏ
𝑖
∂
∂𝑡1
𝐾(2,1)-𝐻
*
1
𝐾(2,1)=0,
(4.27)
где оператор 𝐻1 действует только на координаты точки 1.
Функция 𝐾(2,1), если её рассматривать как интеграл по траекториям, определена лишь для 𝑡2>𝑡1. Она остаётся неопределённой, если 𝑡2<𝑡1. Как мы увидим из дальнейшего, очень удобно положить 𝐾(2,1) для 𝑡2<𝑡1 равным нулю [в частности, соотношение (4.2) в этом случае будет справедливо только при 𝑡2>𝑡1. Если
𝐾(2,1)=0 для 𝑡
2
<𝑡
1
(4.28)
уравнение (4.25), очевидно, справедливо также и в области 𝑡2<𝑡1 (что является тривиальным, поскольку 𝐾=0). Однако это уравнение не удовлетворяется в точке 𝑡2=𝑡1, так как функция 𝐾(2,1) при 𝑡2=𝑡1 терпит разрыв.
Задача 4.6. Покажите, что 𝐾(2,1)→δ(𝑥2-𝑥1), когда 𝑡2→𝑡1+0.
Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра 𝐾 по переменной 𝑡2 даёт δ-функцию времени, умноженную на δ(𝑥2-𝑥1) — производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению
-
ℏ
𝑖
∂𝐾(2,1)
∂𝑡2
-𝐻
2
𝐾(2,1)
=-
ℏ
𝑖
δ(𝑥
2
-𝑥
1
)
δ(𝑡
2
-𝑡
1
).
(4.29)
Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции 𝐾(2,1), если уравнение Шрёдингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина 𝐾(2,1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шрёдингера.
Сохранение вероятности. Определённый соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если 𝑓 и 𝑔 — две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то
∞
∫
-∞
(𝐻𝑔)*𝑓
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
𝑔*(𝐻𝑓)
𝑑𝑥.
(4.30)
Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию 𝑔, подействовать на неё оператором 𝐻, получить 𝐻𝑔 и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на 𝑓 и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину 𝐻𝑓, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую 𝑔, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение ∫(𝐻𝑔)*𝑓𝑑𝑥 (по частям, где это необходимо).
Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим
-
ℏ²
2𝑚
∞
∫
-∞
𝑑²𝑔*
𝑑𝑥²
𝑓𝑑𝑥
+
∞
∫
-∞
𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥
=
=-
ℏ²
2𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑔*
𝑑𝑥
𝑓-𝑔*
𝑑𝑓
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
∞
