(10.90)

где ω(𝐤) — частота фонона с волновым вектором 𝐤. Во всяком кристалле 𝑈 будет многозначной функцией (если в единичном объёме находится 𝑝 атомов, то существует 3𝑝ω значений для каждого 𝐤), и мы должны просуммировать по всем возможным ω. Интегрирование по 𝐤 распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу. Для фотонов каждому 𝐤 соответствуют две моды с одинаковыми частотами ω=𝑘𝑐, так что в сумме появляется множитель 2, и мы приходим к равенству (10.87), причём область интегрирования по 𝐤 становится теперь бесконечной.

Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоёмкости и, в частности, её поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр ω(𝐤), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоёмкости твёрдых тел, которая обязана колебаниям атомов.

§ 5. О формулировке основных законов теории

Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией 𝐸 пропорциональна 𝑒^{-𝐸/𝓀𝑇}, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.

Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведёт точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения 𝑍. В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,— ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней 𝐸_𝑖. В заключение вернёмся к формулировке 𝑍 с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение 𝑍 прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путём изменение её состояний во времени? Если да, то мы ещё це знаем, как это сделать.

Можно было бы спросить: а зачем это нужно? Это все равно что показывать своё умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют. Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возможность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно.

Отсюда и возникла идея — получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шрёдингера). Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными.

Однако (если так предпочтительнее) можно думать, что наша приверженность к определённому способу вычислений вызвана чисто академической заинтересованностью в методах классической физики. Пусть имеется система, подчиняющаяся принципу наименьшего действия, и её действие определено соотношением

𝑆

=

1

2

∫

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

+

𝑘

2

∫

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

𝑑𝑡

,

(10.91)

так что уравнением её движения будет

𝑚𝑥̈

=

𝑘

2

[

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑥(𝑡-𝑎)

].

Здесь возникает любопытная ситуация, когда на систему действует сила, зависящая от полусуммы её прошлого и будущего положений. Для уравнения (10.92) существуют экспоненциально растущие решения, но мы условимся считать допустимыми лишь те движения, при которых 𝑥 остаётся конечным и в далёком прошлом, и в отдалённом будущем. Заметим, что если закон действия сформулирован в виде δ𝑆=0, то отбрасываемые нами решения так или иначе исключаются, поскольку на все вариации траекторий накладывается условие δ𝑥→0 при 𝑡→±∞.

Для такой системы можно записать некоторое выражение, описывающее сохранение энергии, потому что уравнения движения не зависят от времени. (Ни один простой гамильтониан не даёт уравнений движения.) Возможно, что свойства системы позволяют ей подвергаться воздействию молекул газа и так достигать теплового равновесия. Зададимся вопросом: каковы средние значения параметров системы, которая подчиняется уравнению движения (10.92), удовлетворяющих граничным условиям на бесконечности, когда система находится в равновесии при температуре 𝑇? Возможно, что такая задача неразрешима или, быть может, её легко решить лишь в данном конкретном случае, когда уравнения движения линейны. Однако наша цель — выяснить, действительно ли для формулировки классической статистической механики необходимо существование гамильтониана и импульса или же можно изучать более широкий класс механических систем, для которых уравнения движения наиболее просто выводятся из принципа наименьшего действия, даже если функция действия содержит не только мгновенные положения и скорости частиц системы.

Этот вопрос представляет собой классический аналог нашего более интересного вопроса: каким образом в случае равновесного состояния системы мы переходим от описания её механических свойств, выраженного через интегралы по траекториям, к такому же описанию с точки зрения статистической механики.

Задача 10.9. Покажите, что выражение

𝐹(𝑡)

=

1

2

𝑚[𝑥̇(𝑡)]²

-

𝑘

2

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑘

2

_𝑡+𝑎

∫

^𝑡

𝑥(𝑡'-𝑎)

𝑥̇(𝑡')

𝑑𝑡'

(10.93)

является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину.

Вообще для любого функционала действия 𝑆, не содержащего времени явным образом (т.е. инвариантный относительно преобразования 𝑡→𝑡+const) существует выражение для энергии 𝐸(𝑇) в момент 𝑇, которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия 𝑆 при замене всех траекторий 𝑥(𝑡) на 𝑥[𝑡+η(𝑡)], где η(𝑡)=+ε/2 для 𝑡>𝑇 и η(𝑡)=-ε/2 для 𝑡<𝑇 при постоянном ε. В случае бесконечно малого ε δ𝑆 равно ε𝐸(𝑇).

Задача 10.10. Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по тракториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном ноле, постоянном во времени.

Глава 11

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

В этой главе мы обсудим метод приближённого вычисления интегралов по траекториям, основанный на вариационном принципе. Сначала проиллюстрируем этот метод некоторыми примерами, а потом рассмотрим задачи, в которых он может оказаться полезным.

§ 1. Принцип минимума

Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию системы 𝐹. Эта задача может быть сформулирована на языке интегралов по траекториям с помощью функции распределения [см. выражение (10.4)]