Здесь и в других приложениях классической аналогии нужно помнить, что термин «среднее» относится к величине, определяемой с помощью весовой функции 𝑒𝑖𝑆/ℏ. Эта экспонента не будет строго положительна, а в общем случае является комплексной величиной. Таким образом, мы получим чисто квантовый результат, подобный соотношению (7.64), где дополнительный корреляционный член является чисто мнимым.
Задача 7.8. Найдите матричный элемент перехода от произведения 𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)=𝑓(𝑡,𝑠) в случае, когда потенциал не остаётся постоянным, а соответствует потенциалу сил, действующих на гармонический осциллятор. Получите дифференциальные уравнения для функции 𝑓 и попытайтесь найти решение
⟨𝑓(𝑡,𝑠)⟩
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩.
(7.65)
Получите уравнение для 𝑔(𝑡,𝑠), показав, что 𝑔 не зависит от значений координат конечных точек 𝑡1 и 𝑡2 и вида силы [производной от потенциала γ(𝑡)]. Покажите, что вообще при 𝑇=𝑡2-𝑡1.
𝑔(𝑡,𝑠)
=
ℏ
𝑚𝑖ω sin 𝑖𝑇
sin ω𝑠
sin ω(𝑇-𝑡)
при 𝑠<𝑡,
𝑔(𝑡,𝑠)
=
ℏ
𝑚𝑖ω sin 𝑖𝑇
sin ω𝑡
sin ω(𝑇-𝑠)
при 𝑡<𝑠.
(7.66)
§ 4. Общие соотношения для квадратичной функции действия
Если функция действия 𝑆 имеет квадратичную форму, то очевидно, что матричные элементы перехода для многих функционалов могут быть определены достаточно просто. Стало быть, можно попытаться обобщить наши исследования на некоторые функционалы более общего вида. Методика такого обобщения была уже описана в § 5 гл. 3. Заметим, например, что если действие 𝑆 квадратично, то матричный элемент перехода функционала можно представить в виде 𝑒𝑖/ℏ∫𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡, где 𝑓(𝑡) — произвольная функция времени. Его можно выразить интегралом
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
𝑏
∫
𝑎
exp
𝑖
ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑆+
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.67)
Если исходное действие 𝑆 выражено функцией Гаусса, то новое действие
𝑆'
=
𝑆+
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
Теперь интеграл по траекториям в правой части выражения (7.67) может быть вычислен известными нам методами (§ 5 гл. 3). Обозначив через 𝑆'кл экстремум действия 𝑆', вынесем в (7.67) множитель exp(𝑖𝑆'кл/ℏ) за интеграл. Под интегралом остаётся функция, интегрируемая вдоль траектории 𝑦(𝑡) от точки 𝑦(0)=0 до точки 𝑦(𝑇)=0, т.е. от начала до конца интервала (здесь мы полагаем 𝑥=𝑥+𝑦, где 𝑥 — классическая траектория, соответствующая экстремуму действия).
Интеграл вдоль траектории 𝑦 не зависит от функции 𝑓(𝑡), поскольку она входит в действие 𝑆' как коэффициент перед линейным членом 𝑥(𝑡). Мы уже видели [см. выражение (3.49)], что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции 𝑆', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции 𝑆. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода ⟨1⟩. В результате получаем
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆'
кл
-𝑆
кл
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩.
(7.68)
Мы уже рассматривали экстремум функции 𝑆'кл. Отсюда можно получить экстремум функции 𝑆кл, если положить 𝑓(𝑡) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия 𝑆'кл.
Задача 7.9. Используя полученный выше результат, покажите, что если функция 𝑆 соответствует гармоническому осциллятору, т.е.
𝑆
=
𝑚
2
∫
𝑥̇²
𝑑𝑡
-
𝑚ω²
2
∫
𝑥²
𝑑𝑡
,
то
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⟨1⟩
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑚ω
2sin ω(𝑡2-𝑡1)
⎤
⎥
⎦
×
×
⎡
⎢
⎣
2𝑥2
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
+
2𝑥1
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
𝑑𝑡
-
-
2
𝑚²ω²
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑠)
sin ω(𝑡
2
-𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
,
где 𝑥1, 𝑥2,— начальные и конечные координаты для осциллятора.
Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты 𝑥(𝑡). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по 𝑓(𝑡):
╱
╲
𝑥(𝑡)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓𝑥
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
𝑖
ℏ
δ
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
-𝑆
кл
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
=
=
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
-𝑆
кл
)
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
.
(7.69)
Полагая в обеих частях этого равенства 𝑓(𝑡)≡0, получаем
