⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⟨1⟩
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
.
(7.70)
Этот процесс можно продолжить до второй производной:
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
δ²
δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
-𝑆
кл
)
⎤
⎥
⎦
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
⟨1⟩
=
=
⟨1⟩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
δ²𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠)
+
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑠)
⎤
⎥
⎦
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
.
(7.71)
Действительно, поскольку функция 𝑆'кл квадратична только по переменной 𝑓 [ср. выражение (3.66)], то матричный элемент перехода для произведения любого числа координат 𝑥' можно выразить непосредственно через производную δ𝑆'кл/δ𝑓(𝑡) и величину δ²𝑆кл/δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠), не зависящую от 𝑓. Все это, очевидно, следует из соотношений (7.64) и (7.65) и позволяет нам записать матричный элемент перехода для произведения трёх координат, что и будет сделано ниже.
Задача 7.10. Покажите, что если
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
𝑥
(𝑡)
⟨1⟩
и
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩
,
то для любого квадратичного функционала
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)𝑥(𝑢)⟩
=
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
𝑥
(𝑢)
+
𝑥
(𝑡)
𝑔(𝑠,𝑢)
+
𝑥
(𝑠)
𝑔(𝑡,𝑢)
+
𝑥
(𝑢)
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩
.
Найдите матричный элемент перехода произведения четырёх координат 𝑥, допустив, что поскольку 𝑆'кл-𝑆кл квадратично по переменной 𝑓 и равно нулю при 𝑓=0, то это выражение должно иметь вид
𝑆'
кл
-𝑆
кл
=
1
2
∫∫
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑠)
𝑔(𝑡,𝑠)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
+
∫
𝑥
(𝑡)
𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
,
где 𝑔 и 𝑥 - некоторые функции.
§ 5. Матричные элементы перехода и операторные обозначения
В этом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой записи, выразить результаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.
Если функция 𝐹 зависит только от переменной 𝑥 и одного момента времени 𝑡 [иными словами, если функция 𝐹 совпадает с функцией 𝑉(𝑥𝑘), взятой в момент времени 𝑡𝑘], то из соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [из выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция 𝐹 зависит от одной координаты 𝑥(𝑡) и двух различных моментов.
Пусть функция 𝐹 является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени 𝑡𝑘. Воспользуемся уже известным нам приближением и разобьём ось времени на отрезки длины ε; тогда
𝐹
=
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)
(7.72)
и, следовательно,
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
-𝑥
𝑘
)
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱𝑆
=
𝑚
ε
(
⟨χ|𝑥
𝑘+1
|ψ⟩
𝑆
-
⟨χ|𝑥
𝑘
|ψ⟩
𝑆
).
(7.73)
Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде
𝑚
ε
⎡
⎢
⎣
∫
χ*(𝑥,𝑡+ε)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡+ε)
𝑑𝑥
-
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
.
(7.74)
Воспользуемся теперь волновым уравнением. Из задачи 4.3 (гамильтониан 𝐻 соответствует действию 𝑆) следует, что
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
ψ(𝑥,𝑡)
+ε
∂ψ
∂𝑡
=
ψ-
𝑖ε
ℏ
𝐻ψ
,
(7.75)
χ*(𝑥,𝑡+ε)
=
χ*(𝑥,𝑡)
+ε
∂χ*
∂𝑡
=
χ*+
𝑖ε
ℏ
(𝐻χ)*
.
(7.76)
Тогда в первом приближении по ε имеем
∫
χ*(𝑥,𝑡+ε)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡+ε)
𝑑𝑥
=
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
-
-
𝑖ε
ℏ
⎧
⎨
⎩
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
[𝐻ψ(𝑥,𝑡)]
𝑑𝑥
-
[𝐻*χ*(𝑥,𝑡)]
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
⎫
⎬
⎭
.
(7.77)
С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как ∫χ*(𝑥,𝑡)[𝐻𝑥ψ(𝑥,𝑡)]𝑑𝑥; упрощая, запишем в операторном виде
⟨χ|𝑚𝑥̇|ψ⟩
=-
𝑖𝑚
ℏ
∫
χ*
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.78)
Это ничем не отличается от соотношения
-
𝑖
ℏ
𝑚
∫
χ*
ℏ²
𝑚
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
∫
χ*
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
,
(7.79)
где мы применили результат задачи 4.4. Оператор (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим 𝑥-компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины 𝑚𝑥̇ соответствует постановке оператора (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) между функциями χ* и ψ; аналогично в матричном элементе перехода для величины 𝑥 мы помещаем 𝑥 между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть
χ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
χ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
,
ψ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
ψ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
(7.80)
являются импульсным представлением функций χ и ψ; тогда можно показать, что
