∞
∫
-∞
χ*(𝑥)
ℏ
𝑖
∂ψ(𝑥)
∂𝑥
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
χ*(𝑝)
𝑝ψ(𝑝)
𝑑𝑝
.
(7.81)
Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81).
Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
𝐾(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑁
.
(7.82)
Предположим далее, что вся ось 𝑥1 смещена вправо на малый отрезок Δ. Обозначив новую координату 𝑥'1, имеем
𝑥
1
=
𝑥'
1
-
Δ
.
(7.83)
Заменив старые переменные 𝑥1 на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):
⟨χ|1|ψ⟩
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
𝑥𝑁
∫
𝑥'1
χ(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
exp
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑁-1
∑
𝑖=2
𝑆
[𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
]
+
+
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑆
[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥'
1
-
Δ
,𝑡]
⎤
⎥
⎦
ψ(𝑥'
1
-
Δ
,𝑡)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥'
1
𝑑𝑥
2
,
(7.84)
где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22).
Разложим теперь функции 𝑆[𝑥2,𝑡2;𝑥'1-Δ,𝑡] и ψ(𝑥'1-Δ,𝑡) в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведётся к выражению
exp
⎧
⎨
⎩
𝑁-1
∑
𝑖=2
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑆
[𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
]
⎫
⎬
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
1-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
Δ
∂
∂𝑥'1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥'
1
,𝑡
1
]
⎫
⎬
⎭
.
(7.85)
В интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку 𝑥'1 — переменная интегрирования. Тогда соотношение (7.84) примет вид
⟨𝑥|1|χ⟩
=
∫∫
χ*(2)
𝐾(2,1)
ψ(1)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
-
𝑖
ℏ
Δ
∫∫
χ*(2)
𝐾(2,1)
×
×
⎧
⎨
⎩
ψ
1
∂
∂𝑥1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
]
+
ℏ
𝑖
∂
∂𝑥1
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
,
(7.86)
где мы предположили, что точка 𝑥2 находится на траектории 𝑥(𝑡) и отстоит на интервал ε от точки 𝑥1 т.е. что 𝑡2=𝑡1+ε.
Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому
╱
╲
⎪
⎪
⎪
-
∂
∂𝑥1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
1
+ε;𝑥
1
,𝑡
1
]
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
╱
╲
χ|1|
ℏ
𝑖
∂ψ(𝑥1,𝑡1)
∂𝑥1
╲
╱
.
(7.87)
В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории. Поэтому функция 𝑆[2,1], появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Её производная по 𝑥1 (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от 𝑥1. Следовательно, можно написать
⟨χ|𝑝
1
|ψ⟩
=
╱
╲
χ|1|
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥1
╲
╱
.
(7.88)
что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).
В случае усложнения функции действия 𝑆, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал 𝑝(𝑡), соответствующий импульсу в момент времени 𝑡. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода ⟨χ|1|ψ⟩ (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам 𝑡, смещены на -Δ) равна произведению этого сдвига Δ на матричный элемент ⟨χ|𝑝(𝑡)|ψ⟩. Отсюда для сколь угодно сложной функции 𝑆 можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определён гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.
Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция 𝑉 зависит только от пространственных координат, то
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑉(𝑥𝑘+1)-𝑉(𝑥𝑘)
ε
